Materiale di Multiplicazione di Punti Utilizendu Cumponenti Vettoriali Unitari
Pudemu calculà u pruduttu scalare direttamente s'è no cunniscimu i cumpunenti x, y è z di i vettori A è B (i vettori cunnisciuti).
Per fà un pruduttu scalare in questu modu, prima facemu un pruduttu scalare di i vettori unitari, dopu esprimemu i vettori A è B in i so cumpunenti, decomponemu u pruduttu è usemu u pruduttu di i vettori unitari.
I vettori unitari i , j è k sò perpendiculari trà di elli, ciò chì facilita i calculi. Usendu l'equazione di multiplicazione scalare derivata sopra ( AB = AB cos theta ), ottenemu:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Avà sprimemu i vettori A è B in termini di e so cumpunenti, decomponemu u so pruduttu è usemu u pruduttu di vettori unitarii.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 è i . j = i . k = j . k = 0, tandu:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Basatu annantu à i risultati di stu calculu, si pò cunclude chì u pruduttu scalare o u pruduttu scalare di dui vettori hè a somma di i prudutti di i so cumpunenti simili.
Esempiu di dumanda 1:
Grande vettore A Cristescu B rispettivamente sò 5 è 4, cum'è mostratu in l'imagine quì sottu. L'angulu furmatu hè 90oCuntatelu pruduttu scalare tramindui vettori.
Discussione
Prima di calculà u pruduttu scalare di i vettori A è B, ci vole prima à cunnosce i cumpunenti di u secondu vettore.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
U vettore A hà solu cumpunenti vettoriali nantu à l'asse x è u vettore B hà solu cumpunenti vettoriali nantu à l'asse y. A cumpunente z hè nulla perchè i vettori A è B sò in u pianu xy.
Avà calculemu u pruduttu scalare trà i vettori A è B aduprendu l'equazione di u pruduttu scalare cù i vettori cumpunenti:
À. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Paragunemu cù u primu metudu
AB = AB cos θ
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
U risultatu hè listessu.
Esempiu di dumanda 2:
Grande vettore A Cristescu B sò 5 è 4 rispettivamente, cum'è mostratu in l'imagine quì sottu. Calcula pruduttu scalare i dui vettori, se l'angulu furmatu hè 30o
Discussione
Prima di calculà u pruduttu scalare di i vettori A è B, ci vole prima à cunnosce i cumpunenti di u secondu vettore.
A cumpunente z hè nulla perchè i vettori A è B sò in u pianu xy.
Avà calculemu u pruduttu scalare trà i vettori A è B aduprendu l'equazione di u pruduttu scalare cù i vettori cumpunenti:
Paragunate cù u primu metudu.
