Pananglitan sa usa ka pangutana sa diskusyon bahin sa derivative sa usa ka algebraic function
Ang derivative sa calculus usa ka sukaranang konsepto nga gigamit sa paghulagway kon giunsa pagbag-o ang usa ka function, o ang slope sa usa ka function sa usa ka punto. Ang mga derivative mapuslanon sa lainlaing mga natad sama sa pisika, ekonomiya, ug inhenyeriya tungod kay kini naghatag impormasyon bahin sa rate sa pagbag-o. Niini nga artikulo, atong hisgutan ang pipila ka mga pananglitan sa mga derivative sa algebraic function ug kung giunsa kini pagsulbad.
Ehemplo 1: Derivative sa Polynomial Function
Pangutana: Gihatag ang function \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Tinoa ang derivative sa function!
Solusyon:
Gamit ang batakang lagda sa mga derivatives para sa mga polynomial function, nga mao ang \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), atong kuwentahon ang derivative sa matag termino sa function usa-usa.
\[
\begin{align}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align}
\]
Busa, ang derivative sa \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) mao ang \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Ehemplo 2: Derivative sa usa ka Function nga adunay Fractional Exponents
Pangutana: Tinoa ang derivative sa function \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Solusyon:
Gamit ang parehas nga lagda sa derivation, nga mao ang \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align}
\]
Busa, ang derivative sa \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) kay \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Ehemplo 3: Mga Derivative sa Exponential ug Trigonometric Functions
Pangutana: Tinoa ang derivative sa function \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Solusyon:
Aron masulbad kini nga derivative, kinahanglan nato ang Product Rule, nga nag-ingon nga \((uv)' = u'v + uv'\). Pananglit \( u(x) = e^x \) ug \( v(x) = \sin(x) \), nan:
\[
\begin{align}
u'(x) &= e^x, & \text{tungod kay ang gigikanan sa } e^x \text{ kay } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{tungod kay ang derivative sa } \sin(x) \text{ kay } \cos(x).
\end{align}
\]
Gamit ang nakuha nga lagda para sa mga produkto:
\[
\begin{align}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align}
\]
Busa, ang derivative sa \( h(x) = e^x \sin(x) \) mao ang \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Ehemplo 4: Derivative sa usa ka Function Gamit ang Chain Rule
Pangutana: Tinoa ang derivative sa function \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Solusyon:
Aron masulbad kini nga derivative, kinahanglan nato ang chain rule, nga mao ang \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Pananglit \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) ug \( f(u) = u^5 \), nan:
\[
\begin{align}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) ug= f(u(x)) = u^5
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align}
\]
Gamit ang lagda sa kadena:
\[
\begin{align}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align}
\]
Busa, ang derivative sa \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) kay \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Ehemplo 5: Derivative sa usa ka Function nga adunay Trigonometric Identities
Pangutana: Tinoa ang derivative sa function \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Solusyon:
Atong gamiton ang derivative rule para sa mga produkto. Pananglit \( u(x) = \sin(x) \) ug \( v(x) = \cos(x) \), nan:
\[
\begin{align}
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align}
\]
Gamit ang nakuha nga lagda para sa mga produkto:
\[
\begin{align}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align}
\]
Gamit ang trigonometrikong identidad \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Busa, ang derivative sa m(x) = sin(x) kay m'(x) = cos(2x).
Konklusyon
Ang derivative sa usa ka algebraic function usa ka sukaranan nga konsepto sa calculus nga importante kaayo ug mapuslanon sa lainlaing mga aplikasyon. Nagkalainlaing mga lagda sa derivation, sama sa basic derivative rule, product rule, chain rule, ug ang mga lagda para sa trigonometric derivatives, tanan makatabang sa pagkalkulo sa mga derivatives sa mas komplikado nga mga function. Pinaagi sa pagsabot sa mga pananglitan sa ibabaw ug pagpraktis sa mga problema, mapauswag nato ang atong pagsabot ug kahanas sa pagkuha og mga derivatives sa algebraic functions.
