Materijal o Bernoullijevom principu i jednačini
Kada vozimo motor prilično brzo, odjeća koju nosimo se napuhne pozadi. Ako još ne znate voziti motor, obratite pažnju na svoje roditelje ili prijatelje koji voze motore. Njihova odjeća se obično napuhne pozadi kada motor ide brzo. Ponekad, kada vjetar jako puše, vrata kuće se mogu sama zatvoriti. Čak i ako vjetar puše izvan kuće, vrata su unutra.
Ovo se može objasniti Bernoullijevim principom. Daniel Bernoulli (1700–1782) otkrio je princip koji se može koristiti za objašnjenje nekih od gore navedenih stvari.
Bernoullijev princip
Bernoullijev princip kaže da tamo gdje je brzina protoka fluida velika, pritisak fluida je nizak. Suprotno tome, ako je brzina protoka fluida mala, pritisak postaje visok. Kada se motocikl kreće brzo, brzina zraka ispred i pored vašeg tijela je velika. Stoga, pritisak zraka postaje nizak. Zadnji dio vašeg tijela je blokiran prednjim dijelom vašeg tijela, tako da se brzina zraka iza vašeg tijela ne mijenja u visoku (odmah iza vašeg tijela). Kao rezultat toga, pritisak zraka iza vašeg tijela postaje veći. Budući da postoji razlika u pritisku zraka, gdje je pritisak zraka odmah iza vašeg tijela veći, zrak gura vašu majicu unazad, čineći da izgleda kao da je napuhana pozadi.
Šta je s vratima koja se sama zatvaraju kada vani jako puše vjetar? Vanjski zrak se kreće brže od zraka unutra. Kao rezultat toga, vanjski pritisak zraka je niži od unutrašnjeg pritiska zraka. Zbog ove razlike u pritisku, tamo gdje je unutrašnji pritisak zraka viši, vrata se pomiču prema van. Drugim riječima, vrata se pomiču s mjesta višeg pritiska zraka na mjesto nižeg pritiska zraka.
Bernoullijeva jednačina
Prethodno smo učili o Bernoullijevom principu. Bernoulli je također kvantitativno razvio ovaj princip. Da bismo izveli Bernoullijevu jednačinu, pretpostavljamo stacionaran, laminarni tok fluida, nekompresibilnost i nisku viskoznost, što se može zanemariti.
U diskusiji o jednačini kontinuiteta, naučili smo da brzina protoka fluida također može varirati ovisno o površini poprečnog presjeka cijevi za protok. Na osnovu Bernoullijevog principa objašnjenog gore, pritisak fluida također može varirati ovisno o brzini protoka fluida. Pritisak fluida također može varirati ovisno o visini fluida. Odnos između pritiska, brzine protoka i visine protoka može se dobiti iz Bernoullijeve jednačine.
Bernoullijeva jednačina je veoma važna jer se može koristiti za analizu leta aviona, hidroelektrana, cjevovodnih sistema itd. Da bi se Bernoullijeva jednačina koju ćemo izvesti općenito primjenjivala, pretpostavit ćemo da fluid teče kroz cijev za protok s nejednakim površinama poprečnog presjeka i različitim visinama (vidi sliku ispod). Da bismo izveli Bernoullijevu jednačinu, primjenjujemo teorem o radu i energiji na fluid u području cijevi za protok. Zatim ćemo izračunati količinu fluida i rad izvršen za pomicanje fluida.
Neprozirna boja u cijevi za protok na slici ukazuje na protok fluida, dok bijela boja ukazuje na odsustvo fluida.
Fluid u poprečnom presjeku 1 (lijeva strana) teče za udaljenost L1 i prisiljava fluid u poprečnom presjeku 2 (desna strana) da se pomakne za udaljenost L2 . Budući da je površina poprečnog presjeka 2 na desnoj strani manja, brzina protoka fluida na desnoj strani cijevi za protok je veća (podsjetimo se na jednačinu kontinuiteta). To uzrokuje razliku pritiska između poprečnog presjeka 2 (desna strana cijevi za protok) i poprečnog presjeka 1 (lijeva strana cijevi za protok) - podsjetimo se na Bernoullijev princip. Fluid na lijevoj strani poprečnog presjeka 1 vrši pritisak P1 na fluid na desnoj strani i obavlja rad od:
Tada se jednačina W1 može napisati kao:
W1 = p1A1L1
U poprečnom presjeku 2 (desna strana cijevi za protok), rad izvršen nad fluidom je:
W2 = −p2A2L2
Negativni predznak označava da je primijenjena sila suprotna smjeru kretanja. Dakle, fluid vrši rad desno od presjeka 2. Pored toga, sila gravitacije također vrši rad na fluid. U gornjem slučaju, određena masa fluida se pomiče iz presjeka 1 do L1 u presjek 2 do L2 , gdje je zapremina fluida u presjeku 1 (A1L1 ) = zapremina fluida u presjeku 2 (A2L2 ) . Rad koji vrši gravitacija je:
W³ = −mg( h² − h¹ )
W3 = −mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Negativni predznak je posljedica kretanja fluida prema gore, suprotno od smjera gravitacije. Dakle, ukupan rad izvršen na fluidu, kao što je prikazano na gornjoj slici, iznosi:
Š = Š1 + Š2 + Š3
W = P1A1L1 ‐ P2A2L2 + mgh1 ‐ mgh2
Teorem o radu i energiji kaže da je ukupan rad izvršen na sistemu jednak promjeni njegove kinetičke energije. Stoga, možemo zamijeniti Rad (W) promjenom kinetičke energije (EK² - EK¹ ).
Gornju jednačinu možemo prepisati kao:
W = P1A1L1 ‐ P2A2L2 + mgh1 ‐ mgh2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 - 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Masa fluida koji teče na udaljenosti L1 u poprečnom presjeku A1 = masa fluida koji teče na udaljenosti L2 ( presjek A2 ) . Masa fluida, recimo m , ima zapreminu A1 L1 i A2 L2 gdje je A1 L1 = A2 L2 ( L2 je duže od L1 ).
Sada supstituiramo, ili zamjenjujemo m u gornjoj jednačini sa m = ρ AL:
Ovo je Bernoullijeva jednačina. Bernoullijevu jednačinu smo izveli na osnovu principa rada i energije, tako da je to oblik zakona održanja energije.
Informacije:
P = Pritisak
ρ = Gustoća fluida
v = Brzina protoka fluida
g = Ubrzanje usljed gravitacije
h = Visina protočne cijevi/cijevi od površine tla
Lijeva i desna strana Bernoullijeve jednačine mogu se odnositi na bilo koje dvije tačke duž protočne cijevi, tako da gornju jednačinu možemo prepisati kao:
Ova jednačina navodi da ukupna suma veličina u jednačini ima istu vrijednost kroz cijelu protočnu cijev.
Sada pogledajmo Bernoullijevu jednačinu za neke slučajeve.
Bernoullijeva jednačina za fluide u mirovanju
Specijalan slučaj Bernoullijeve jednačine su fluidi u mirovanju (statički fluidi). Kada fluid miruje, nema brzinu. Dakle, v1 = v2 = 0. U slučaju fluida u mirovanju, Bernoullijeva jednačina se može formulisati kao:
Ako je h² - h¹ = h, tada se ova jednačina može napisati kao:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoullijeva jednačina za protočne cijevi ili cijevi iste visine
Ako je visina protočne cijevi ili cijevi ista, tada se Bernoullijeva jednačina mijenja u:
