Materijal za jednačinu kontinuiteta
Pokušajte polako otvoriti slavinu za vodu dok posmatrate protok vode koji izlazi iz slavine. Kada se slavina prestane okretati, djelomično je blokirajte rukom. Sada uporedite koji je protok vode veći. Kada je djelomično blokiran ili odblokiran? Ako imate crijevo koje se obično koristi za zalijevanje cvijeća, pustite vodu da teče kroz njega. Djelomično blokirajte crijevo rukom ili prstom. Što je veći dio crijeva blokiran, voda će brže istjecati. Obrnuto, ako crijevo nije blokirano, voda će teći sporije. Zašto je to tako? Da biste ovo razumjeli, proučite jednačinu kontinuiteta.
Strujnice i protočne cijevi
Prvo, hajde da shvatimo koncepte strujnica i protočnih cijevi. Ovaj koncept je važan jer će vam pomoći da shvatite jednačinu kontinuiteta.
Linija strujanja
Pogledajte sliku ispod, plava linija je linija strujanja.
U ustaljenom toku, brzina svake čestice fluida u tački, recimo tački A, ostaje konstantna. Kako prolazi pored tačke B, brzina čestica fluida se može mijenjati. Međutim, po dolasku u tačku B, čestice fluida koje slijede nastavljaju teći istom brzinom kao i čestice fluida koje su im prethodile. Isto važi i pri dolasku u tačku C, i tako dalje. Linija strujanja je kriva koja spaja tačke A, B i C.
Protočna cijev
U suštini, možemo nacrtati svaku liniju strujnice kroz svaku tačku u toku fluida. Ako uzmemo u obzir stacionarni tok fluida, više linija strujnice koje prolaze pod određenim uglom na zamišljenoj površini (imaginarna površina) formiraju cijev za protok. Čestice fluida se ne sijeku, već su uvijek paralelne, a cijev za protok će podsjećati na cijev koja uvijek ima isti oblik. Fluid koji ulazi na jednom kraju cijevi izlazit će iz cijevi na drugom kraju.
Brzina
Protok označava zapreminu fluida koji protiče kroz određeni poprečni presjek u određenom vremenskom intervalu. Matematički se može izraziti na sljedeći način:
Da biste bolje razumjeli, upotrijebimo primjer. Pretpostavimo da fluid teče kroz cijev. Cijevi su obično cilindrične i imaju određenu površinu poprečnog presjeka. Cijev također ima i dužinu.
Kada fluid teče u cijevi do L, tada je zapremina fluida u cijevi V = AL (V = zapremina fluida, A = površina poprečnog presjeka i L = dužina cijevi). Budući da tokom strujanja u cijevi duž L fluid putuje određeni vremenski interval, tada možemo reći da je veličina ispuštanja fluida:
Pošto je v = s/t = L/t —> L = vt, gornja jednačina se mijenja u:
Dakle, kada fluid teče kroz cijev koja ima određenu površinu poprečnog presjeka i dužinu tokom određenog vremenskog intervala, veličina ispuštanja fluida (Q) jednaka je površini poprečnog presjeka (A) pomnoženoj sa brzinom protoka fluida (v).
Jednačina kontinuiteta
Razmotrite protok fluida u cijevi različitih promjera, kao što je prikazano na slici ispod.
Ova slika prikazuje tok fluida s lijeva na desno (fluid teče iz cijevi velikog promjera u cijev malog promjera). Isprekidane linije predstavljaju linije strujanja.
Opis slike: A 1 = površina poprečnog presjeka cijevi velikog promjera, A 2 = površina poprečnog presjeka cijevi malog promjera, v 1 = brzina protoka fluida u dijelu cijevi velikog promjera, v 2 = brzina protoka fluida u dijelu cijevi malog promjera, L = pređena udaljenost fluida.
U uvodu u dinamiku fluida objašnjeno je da se u dinamici fluida razmatra tok fluida koji su nekompresibilni, neviskozni, neturbulentni i stacionarni. U stacionarnom toku, brzina čestica fluida u jednoj tački je ista kao i brzina drugih čestica fluida koje prolaze kroz tu tačku. Tokovi fluida se također ne sijeku (linije strujanja su paralelne). Stoga, masa fluida koji ulazi u jedan kraj cijevi mora biti jednaka masi fluida koji izlazi iz drugog kraja. Ako fluid određene mase uđe u cijev velikog promjera, tada će fluid izaći iz cijevi malog promjera s konstantnom masom.
Sada pogledajte sliku cijevi iznad. Pogledajte dio cijevi s velikim promjerom i dio cijevi s malim promjerom.
Tokom određenog vremenskog intervala, određena količina fluida protiče kroz dio cijevi velikog prečnika (A).1) što se tiče L1 (L1 = v1 t). Zapremina tečnosti koja teče je V1 =A1 L1 =A1 v1 t. Tokom istog vremenskog intervala, druga količina fluida protiče kroz dio cijevi manjeg prečnika (A).2) što se tiče L2 (L2 = v2 t). Zapremina tečnosti koja teče je V2 =A2 L2 =A2 v2 t.
Jednačina kontinuiteta za nestlačive fluide (incompressible)
Prvo, razmotrimo slučaj nestišljivog fluida. U nestišljivom fluidu, gustoća, ili masa, fluida je uvijek ista u svakoj tački kroz koju prolazi. Masa fluida koji teče kroz cijev s površinom poprečnog presjeka A1 ( veći promjer cijevi) tokom određenog vremenskog intervala je:
Slično tome, masa fluida koji teče u cijevi poprečnog presjeka A² ( mali promjer cijevi) tokom određenog vremenskog intervala je:
Uzimajući u obzir da je pri ustaljenom toku masa fluida koji ulazi jednaka masi fluida koji izlazi, tada:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (gustoća fluida i vremenski interval su isti pa se poništavaju)
A 1 v 1 = A 2 v 2
Dakle, u nekompresibilnim fluidima primjenjuje se jednačina kontinuiteta:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Jednačina 1
Informacije:
A 1 = površina poprečnog presjeka 1, A 2 = površina poprečnog presjeka 2, v 1 = brzina protoka fluida u poprečnom presjeku 1, v 2 = brzina protoka fluida u poprečnom presjeku 2, A v = zapreminski protok V/t, tj. ispuštanje
Jednačina 1 pokazuje da je zapreminski protok, također poznat kao ispuštanje, uvijek isti u svakoj tački duž cijevi ili protočne cijevi. Kako se poprečni presjek cijevi smanjuje, protok fluida se povećava; obrnuto, kako se poprečni presjek cijevi povećava, protok fluida se smanjuje.
Kada djelimično zatvorimo slavinu, protok vode postaje brži nego kada je slavina djelimično zatvorena. To je zato što se površina poprečnog presjeka slavine smanjuje kada je slavina djelimično zatvorena, što povećava brzinu protoka vode (tečnost teče brže). Isto važi i za crijeva. Međutim, važno je napomenuti da protok vode ili volumetrijski protok ostaje isti u svim tačkama duž toka vode, bez obzira da li je slavina djelimično zatvorena ili ne. Dakle, ono što se mijenja je brzina protoka tečnosti.
Šta je onda s protokom vode u rijeci? Dublji dijelovi rijeke imaju veći poprečni presjek od plićih dijelova, tako da je brzina protoka vode u dubljim dijelovima niža nego u plićim dijelovima. Ako vidite vrlo miran riječni tok, to znači da je rijeka duboka. Ali ako rijeka odjednom postane brza, taj dio je definitivno plitak. Međutim, brzina protoka vode je uvijek ista, bilo u dubokim ili mirnim dijelovima rijeke.
Jednačina kontinuiteta za kompresibilne fluide (stišljiv)
U slučaju kompresibilnih fluida , gustoća fluida nije uvijek ista. Drugim riječima, gustoća fluida se mijenja kada se kompresuje. Dok se kod nekompresibilnih fluida gustoća fluida eliminira iz jednačine, u ovom slučaju gustoća fluida je i dalje uključena. Pozivajući se na prethodno izvedenu jednačinu, izvedimo jednačinu za kompresibilne fluide.
Uzimajući u obzir da je pri ustaljenom toku masa fluida koji ulazi jednaka masi fluida koji izlazi, tada:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
Vremenski interval protoka fluida je isti, tako da se može eliminisati. Jednačina se mijenja u:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → jednadžba 2
Ovo je jednačina za kompresibilnu tekućinu. Jedina razlika leži u gustoći tekućine. Kada se tekućina kompresira, njena gustoća se mijenja. Obrnuto, kada je tekućina nestlačiva, njena gustoća ostaje konstantna i može se poništiti.
Primjer pitanja 1:
Voda teče kroz cijev promjera 10 cm brzinom od 2 m/s. Koliki je protok vode?
Diskusija
Poznato je da:
Prečnik cijevi = 10 cm (ovo je unutrašnji prečnik cijevi)
Poluprečnik cijevi (r) = 5 cm = 0,05 m
v vode = 2 m/s
Pitanje: Debitna kartica
Odgovor:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Primjer pitanja 2:
Vodovodna cijev promjera 20 cm spojena je na drugu cijev promjera 10 cm. Ako je brzina protoka vode u cijevi promjera 20 cm = 4 m/s, kolika je brzina protoka vode u cijevi promjera 10 cm?
Diskusija
Poznato je da:
Prečnik 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/s
Prečnik 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0,05 m)
Pitanje: v 1
Odgovor:
Q1 = Q2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) 2 (4 m/s) = (0,05 m) 2 (v 2 )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/s
