Očuvanje mehaničke energije na krivoj površini – problemi i rješenja
1. Ako je brzina lopte u tački A 6 m/s, brzina lopte u tački B je √92 m/s, a ubrzanje usljed gravitacije je g = 10 m/s² . Kolika je visina tačke B (h)?
Poznato:
Brzina lopte u tački A (vA) = 6 m/s
Brzina kugle u tački B (v B ) = √92 m/s
Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 m/ s²
Visina A (h A ) = 5.6 metara
Visina B (h B ) = h
Traži se: Visina tačke B (h)
Rešenje:
Početna mehanička energija = gravitacijska potencijalna energija
U tački A, brzina lopte = 0, tako da je kinetička energija lopte = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Lopta je na visini od 5.6 metara, tako da lopta ima gravitacionu potencijalnu energiju. Gravitaciona potencijalna energija : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Početna mehanička energija = gravitacijska potencijalna energija + kinetička energija = 56 m + 0 = 56 m
Konačna mehanička energija = gravitacijska potencijalna energija + kinetička energija
U tački B, visina lopte je h. Gravitaciona potencijalna energija: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Kinetička energija lopte: KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
Konačna mehanička energija = gravitacijska potencijalna energija + kinetička energija = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Princip očuvanja mehaničke energije:
Početna mehanička energija = konačna mehanička energija
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 sati + 46
56 – 46 = 10 h
10 = 10 sati
h = 10/10
h = 1 metara
2.
Ako je početna brzina = 0, ubrzanje usljed gravitacije = 10 m/s² , koja je onda brzina na visini B?
Poznato:
Početna brzina (v o ) = 0
Početna visina (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Konačna visina (ht ) = 0
Ubrzanje usljed gravitacije (g) = 10 ms -2
Željena: Konačna brzina (v t )
Rešenje:
Promjena kinetičke energije:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Promjena potencijalne energije:
ΔPE = mg(ht – ho ) = m(10)(0-40) = m(10)(-40) = –400 m
Izračunajte konačnu brzinu (vt ) koristeći jednačinu principa održanja mehaničke energije :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t² = 400 m
1/2 v t² = 400
v t 2 = 2(400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 m/s
- Šta se podrazumijeva pod "očuvanjem mehaničke energije"?
- odgovor: Očuvanje mehaničke energije znači da ukupna mehanička energija (zbir kinetičke i potencijalne energije) izolovanog sistema ostaje konstantna ako na njega djeluju samo konzervativne sile, poput gravitacije.
- Kako objekt koji se kreće po zakrivljenoj površini (poput lopte koja se kotrlja niz zakrivljenu rampu) čuva svoju mehaničku energiju?
- odgovor: Kako se objekt kreće niz zakrivljenu površinu, potencijalna energija se pretvara u kinetičku energiju, ali ukupna mehanička energija ostaje konstantna, pod pretpostavkom da ne vrše rad nekonzervativne sile (poput trenja).
- Ako se lopta oslobodi iz mirovanja na vrhu zakrivljene rampe, kako se mijenja njena kinetička energija dok se kreće niz rampu?
- odgovor: Kinetička energija lopte se povećava dok se kreće niz rampu jer se njena potencijalna energija smanjuje i pretvara u kinetičku energiju.
- U odsustvu trenja, kako bi se brzina lopte na dnu zakrivljenog tobogana uporedila sa brzinom ravnog tobogana iste visine?
- odgovor: Brzina lopte na dnu bila bi ista i za zakrivljeni i za ravni tobogan jer pretvorba potencijalne energije u kinetičku energiju ovisi samo o vertikalnoj visini, a ne o pređenom putu.
- Zašto lopta ne dostiže svoju prvobitnu visinu kada se kotrlja uz zakrivljenu rampu nakon spuštanja sa određene visine?
- odgovor: Ako na loptu djeluju nekonzervativne sile poput trenja, one će obavljati rad suprotan kretanju, pretvarajući dio mehaničke energije lopte u druge oblike, poput topline. Kao rezultat toga, lopta možda neće imati dovoljno energije da dostigne svoju prvobitnu visinu.
- Ako dva različito oblikovana objekta (npr. kugla i kocka) klize niz zakrivljenu rampu s iste visine bez kotrljanja, hoće li imati istu brzinu na dnu? Zašto?
- odgovor: Da, imat će istu brzinu na dnu. Pod pretpostavkom da nema kotrljanja i trenja, jedini faktor koji određuje njihovu brzinu je očuvanje energije na osnovu početne visine, a ne njihovog oblika.
- Kako zakrivljenost površine utiče na normalnu silu na objekat koji se kreće duž nje?
- odgovor: Zakrivljenost uzrokuje promjenu smjera normalne sile kako se objekt kreće. Na konkavnoj površini usmjerenoj prema gore (kao što je unutrašnjost zdjele), normalna sila je veća na dnu zbog centripetalne sile potrebne za zakrivljeno kretanje. Suprotno tome, na konveksnoj površini, normalna sila se može smanjiti ili čak postati nula (objekt napušta površinu) u najužem dijelu.
- Kakvu ulogu igra poluprečnik zakrivljenosti u očuvanju mehaničke energije na zakrivljenoj površini?
- odgovor: Sam radijus zakrivljenosti ne utiče direktno na očuvanje mehaničke energije. Međutim, može uticati na normalnu silu i, ako postoji trenje, na količinu energije koja se gubi zbog nekonzervativnih sila.
- Ako pruga ima udubljenje u sredini (poput krivulje u obliku slova U), kako se mehanička energija objekta mijenja dok se kreće kroz udubljenje i uz drugu stranu?
- odgovor: Potencijalna energija objekta će se smanjivati kako se kreće u udubinu, a povećavati svoju kinetičku energiju. Kako se kreće uz drugu stranu, njegova kinetička energija će se smanjivati, a potencijalna energija će se povećavati. Ako djeluju samo konzervativne sile, ukupna mehanička energija ostaje konstantna tokom cijelog kretanja.
- Može li objekt imati i translacijsku i rotacijsku kinetičku energiju kada se kreće po zakrivljenoj površini?
- odgovor: Da, ako se objekt poput lopte kotrlja (bez klizanja) po zakrivljenoj površini, imat će translacijsku kinetičku energiju zbog kretanja centra mase i rotacijsku kinetičku energiju zbog rotacije oko svoje ose.
