Skalarni proizvod

Vektori nisu obični brojevi, tako da se obično množenje ne može direktno primijeniti na njih. Moramo koristiti množenje vektora. Postoje dvije vrste množenja vektora: množenje tačkom i unakrsno množenje. Množenje tačkom se naziva i skalarno množenje jer daje skalarnu veličinu. Unakrsno množenje se naziva i vektorsko množenje jer daje vektorsku veličinu. Na primjer, postoje dva vektora, naime A dan BSkalarno množenje vektora A dan B navedeno sa AB KPošto arena koristi tačkastu notaciju, ovo množenje se naziva skalarni proizvodVektorsko množenje A dan B navedeno sa A x BZato što koristi notaciju x, onda se ovo množenje naziva unakrsno množenje.

Na primjer, s obzirom na vektor A dan B kao što je prikazano na slici ispod. Skalarni proizvod između vektora A dan B zapisano kao AB (A titik B).

Da se definiše skalarni proizvod vektora A dan B (AB), prikazani vektor A i vektori b ikoji formira ugao θ. Zatim crtamo projekciju vektora B prema smjeru vektora AOva projekcija je komponenta vektora B koji je paralelan vektoru A, što je iste veličine kao B cos θ.

Dakle, definiramo AB kao veliki vektor A pomnoženo sa komponentama vektora B koji je paralelan sa AMatematički to možemo zapisati na sljedeći način:

AB cos θ je običan broj (skalar). Stoga se skalarni proizvod naziva i skalarni proizvod. Šta ako je skalarni proizvod između vektora A dan B pretvorio se u BA prije nego što definiramo BA, prvo crtamo projekciju vektora A vektorima B (pogledajte sliku ispod).

Na osnovu ove slike možemo definisati BA kao veliki vektor B pomnoženo sa komponentama vektora A koji je paralelan sa BMatematički to možemo zapisati na sljedeći način:

Rezultat skalarnog proizvoda AB = AB cos θ i rezultat skalarnog proizvoda BA = BA cos θ. Jer AB cos θ = BA cos θ, onda se primjenjuje AB = BA

Neke stvari o množenju tačaka koje trebate znati:

1. Skalarni proizvod zadovoljava komutativni zakon.

AB = BA

2. Skalarni proizvod zadovoljava distributivni zakon.

A. (B + C) = AB + AC

3. Ako je vektor A dan B okomite jedna na drugu, tada je rezultat skalarnog proizvoda AB = 0

Kada vektor A dan B okomite jedna na drugu, tada je formirani ugao 90^oKos 90^o = 0. Dakle: AB = AB cos tetka = AB cos 90^o = 0. S druge strane, BA = BA cos tetka = BA cos 90^o = 0

4. Ako je vektor A i vektori B jednosmjerna ulica, maka AB = AB cos 0^o = AB

Kada vektor A dan B u istom smjeru, tada je formirani ugao 0^oCos 0 = 1. Dakle, AB = AB cos tetka = AB cos 0^o = ABNaprotiv BA = BA cos tetka = BA cos 0^o = BA

(Ne treba vas miješati sa AB dan BAVeliko AB = veliko BANa primjer, veličina vektora A = 2. veličina vektora B = 3. onda AB = 2.3 = 6; ovo je isto kao BA = 3.2 = 6.

^{5. Još jedan uslov da dva vektora budu u istom smjeru je ako} A=B zatim dobijeno AA = A² ili BB = B²

6. Ako je vektor A dan B suprotnom smjeru (kada su dva vektora u suprotnim smjerovima, tada je ugao koji formiraju 180º), tada je rezultat množenja AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.

Kos 180º = -1.

Primjer problema:

^Vektor A ima magnitudu od 4 jedinice i predstavlja vektor B ima 3 jedinice. Odredite skalarni proizvod dva vektora ako su uglovi koje formiraju dva vektora 60º, 90º i 180º.^o

Diskusija

Zato AB = BA onda možemo odabrati da koristimo jedan. Na primjer, koristimo AB

AB = AB cos tetka

Veliki A = 4 jedinice i veliki B = 3 jedinice.