Primjeri pitanja o jednačini tangente na krug
Pendahuluan
Jednačina tangente na krug je važna tema u analitičkoj geometriji. Razumijevanje načina određivanja jednačine tangente na krug može pomoći u rješavanju širokog spektra matematičkih problema na srednjem i naprednom nivou. Ovaj članak će razmotriti različite primjere problema i metode za određivanje jednačine tangente na krug.
Definicija i osnovna teorija
Krug u koordinatnoj ravni se obično može predstaviti kvadratnom jednačinom:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
gdje je \((a, b)\) središnja tačka kruga, a \(r\) poluprečnik kruga.
Tangenta na kružnicu iz vanjske tačke je linija koja dodiruje kružnicu u tačno jednoj tački. Ako pretpostavimo da linija ima jednačinu:
\[y = mx + c \]
tada se uslov da će prava \(y = mx + c\) biti tangenta na krug može izraziti u sljedećem obliku:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Gdje je \(m\) nagib tangente, a \(c\) konstanta.
Formula jednačine tangente
Za tangentu na krug sa centrom \(0,0)\) i poluprečnikom \(r\), njena jednačina u tački \((x_1, y_1)\) na krugu je:
\[x_1x + y_1y = r^2 \]
Ali ako je centar kruga u tački \((a, b)\), onda je jednačina:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Primjeri pitanja i diskusija
Pitanje 1
Krug sa centrom u tački \((3, 4)\) i poluprečnikom od 5 jedinica. Odrediti jednačinu tangente iz tačke \((6, 8)\).
Diskusija:
U ovom zadatku, dat nam je krug sa centrom u tački \(3, 4)\, poluprečnika 5, i moramo pronaći jednačinu tangente iz tačke \(6, 8)\). Evo koraka za rješavanje:
1. Provjerite da tačka \((6, 8)\) nije unutar kruga: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Dakle, tačka je na kružnici, pa se može koristiti za pronalaženje tangente.
2. Korištenjem formule:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Pojednostavite jednačinu:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Razviti:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Jednačina dobijene tangente je:
\[
3x + 4y = 50
\]
Pitanje 2
Kružnica sa jednačinom \[x^2 + y^2 = 16\]. Odredite jednačinu tangente iz tačke \((4, 0)\).
Diskusija:
Krug sa centrom u \((0, 0)\) i poluprečnikom od 4 jedinice. Data vanjska tačka je \((4, 0)\).
1. Korištenje formule za krug sa centrom \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Zamjena vrijednosti:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Pojednostavite:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Što znači da imamo tangentnu jednačinu koja glasi:
\[
x = 4
\]
Pitanje 3
Nacrtajte liniju koja je tangenta na krug \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) u tački \((-1, 5)\).
Diskusija:
Krug sa centrom u \((-2, 3)\) i poluprečnikom od 3 jedinice. Tačka dodira je \((-1, 5)\).
1. Provjerite da li tačka leži na krugu:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{nije na krugu}
\]
Dakle, može postojati greška u unosu pitanja ili tačke. Ako je \((-2, 6)\) zadato kao tačka dodira:
2. Pojednostavite:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Zamjena:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Rezultat:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3g-9=9
\]
\[
y = 6
Ispostavilo se da tačka i osobe:
y = 6 definitivno važi.
Zaključak, provjera kombinacije, pamćenje, 2 načina brojanja.
validno/netačno..That Plus sažetak gar. td 2; oblik validiraj sa (mreža). plis perimetar sve dugmad pokrivenosti.
To je sve, hvala vam i nadam se da će ovo biti korisno mojim prijateljima.
Osim toga, naučite koncept jačanja razumijevanja.
Oni koji ranije nisu razumjeli, ako Bog da, imat će detaljnije kritične hirurške korake.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{sprečava}-fu.
"
