বল দ্বারা কৃত কাজ
১.১ কাজের সংজ্ঞা
যদি আপনি একটি বইকে টেবিলের উপর ঠেলে দেন যতক্ষণ না বইটি সরে যায়, তাহলে বলা হয় যে আপনি বইটির উপর কাজ করেছেন। যদি কোনো বস্তু মহাকর্ষ বলের টানে মাটিতে পড়ে যায়, তাহলে বলা হয় যে মহাকর্ষ বল বস্তুটির উপর কাজ করেছে। এর বিপরীতে, যদি আপনি আপনার সমস্ত শক্তি দিয়ে কোনো বস্তুকে এমনভাবে ধাক্কা দেন যে আপনার প্রচুর ঘাম ঝরে, কিন্তু বস্তুটি একটুও না নড়ে, তাহলে বলা হয় যে আপনি বস্তুটির উপর কোনো কাজ করেননি। দৈনন্দিন জীবনে, লোকেরা বলতে পারে যে আপনি বস্তুটিকে ধাক্কা দিয়ে কঠোর পরিশ্রম করেছেন, কিন্তু পদার্থবিজ্ঞানে, আপনি বস্তুটির উপর কোনো কাজ করেন না কারণ বস্তুটির কোনো সরণ ঘটেনি।
কোনো বস্তুর উপর কাজ একটি ধ্রুব বল (যার পরিমাণ ও দিক স্থির) অথবা একটি পরিবর্তনশীল বল (যার পরিমাণ ও দিক পরিবর্তিত হয়) দ্বারা করা যেতে পারে। ধ্রুব পরিমাণ ও দিকবিশিষ্ট বলের একটি উদাহরণ হলো মহাকর্ষীয় বল, যা কোনো বস্তু ভূপৃষ্ঠের কাছাকাছি থাকলে তার উপর কাজ করে। যখন কোনো বস্তু ভূপৃষ্ঠের কাছাকাছি মুক্তভাবে পড়তে থাকে, তখন বস্তুটির মুক্ত পতন ত্বরণের পরিমাণ ও দিক স্থির থাকে, কারণ বস্তুটিকে ত্বরান্বিতকারী মহাকর্ষীয় বলের পরিমাণ ও দিক স্থির। পরিবর্তনশীল পরিমাণবিশিষ্ট (কিন্তু ধ্রুব দিকবিশিষ্ট) বলের একটি উদাহরণ হলো স্প্রিং বল । আরেকটি উদাহরণ হলো মহাকাশে উৎক্ষেপিত বা পৃথিবীর পৃষ্ঠে ফিরে আসা একটি রকেট। যখন একটি রকেট উৎক্ষেপণ করা হয়, তখন এর উপর ক্রিয়াশীল মহাকর্ষীয় বলের পরিমাণ পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়।
১.১.১ ধ্রুব বলসমূহ দ্বারা কৃত কাজ
গাণিতিকভাবে, কোনো বস্তুর উপর একটি ধ্রুব বল দ্বারা কৃত কাজকে সরণ এবং বল অথবা বলের সেই উপাংশের গুণফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার দিক বস্তুটির সরণের দিকের অনুরূপ। একটি অমসৃণ সমতল পৃষ্ঠের উপর একটি বস্তুকে পর্যবেক্ষণ করুন, যা একটি ধাক্কা বল (F) দ্বারা ডানদিকে সরণ লাভ করেছে।
চিত্র ১. (উপরে) বস্তুটির সরণের দিক বল F-এর দিকের সমান। (নিচে) বস্তুটির সরণের দিক বল F-এর অনুভূমিক দিকের উপাংশের (F cos) দিকের সমান।
ধাক্কা বল (F) দ্বারা কৃত কাজ হলো:
W = (F)(s)(cos θ) = F s (cos 0) = F s (1)
W = F s
অনুভূমিক দিকে বল F-এর উপাংশ (F cos θ) দ্বারা কৃত কাজ হলো:
W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos )(s)(1)
W = F s cos θ
গতি ঘর্ষণ বল (f k ) দ্বারা কৃত কাজ হলো:
W = (f k )(s)(cos 180) = (f k )(s)(-1)
W = – (f k )(s)
অভিলম্ব বল (N) দ্বারা কৃত কাজ হলো:
W = (N)(s)(cos 90) = (N)(s)(0) = 0
ওজন (w) দ্বারা কৃত কাজ হলো:
W = (w)(s)(cos 90) = (w)(s)(0) = 0
বর্ণনা: W = কৃত কাজ, s = সরণের পরিমাণ, θ = বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ।
চিত্র 2
(ক) বস্তুটি মুক্তভাবে পড়ছে। ওজনটি সরণের দিকেই রয়েছে। (খ) বস্তুটি উল্লম্বভাবে উপরের দিকে উঠছে। ওজনের দিকটি সরণের দিকের বিপরীত।
পূর্ববর্তী উদাহরণে, ওজন (w) দ্বারা কৃত কাজের মান শূন্য, কারণ বস্তুটির ওজনের দিক তার সরণের দিকের সাথে লম্ব। উল্লেখ্য যে, যদি ওজনের দিকটি বস্তুটির সরণের দিকের সমান বা বিপরীত হয়, তবে ওজন দ্বারা কৃত কাজের মান শূন্য হবে না।
চিত্র ক-তে প্রদর্শিত মুক্ত পতনশীল বস্তুটির উপর ওজন (w) দ্বারা কৃত কাজ হলো:
W = F s (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh
চিত্র b-তে প্রদর্শিত উল্লম্বভাবে উপরের দিকে গতিশীল বস্তুটির উপর ওজন (w) দ্বারা কৃত কাজ হলো:
W = F s (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh
বিবরণ: w = ওজন (নিউটন), h = উচ্চতা (মিটার), m = ভর (কেজি), g = অভিকর্ষজ ত্বরণ (মিটার প্রতি বর্গ সেকেন্ড) ।
পূর্ববর্তী ব্যাখ্যা অনুসারে, নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি গ্রহণ করা হয়: প্রথমত, যদি কোনো বস্তুর কোনো সরণ না ঘটে, তবে বস্তুটির উপর প্রযুক্ত বল কোনো কাজ করে না। যদি s = 0 হয়, W = 0; দ্বিতীয়ত, যদি কোনো বল বস্তুর সরণের দিকে একটি নির্দিষ্ট কোণ তৈরি করে , তবে বলের কেবল সেই উপাংশটিই বস্তুটির উপর কাজ করে যা বস্তুটির সরণের দিকের সাথে একই দিকে থাকে; তৃতীয়ত, কোনো বস্তুর সরণের দিকের সাথে লম্ব দিকে থাকা একটি বল ৯০ ° কোণ তৈরি করবে । Cos 90 = 0; চতুর্থত, কাজের চিহ্ন ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। যদি বলটি বস্তুর সরণের দিকের সাথে একই দিকে থাকে এবং ০ ° কোণ তৈরি করে , তবে এটি বস্তুটির উপর ধনাত্মক কাজ করে। বিপরীতক্রমে, যদি বলটির দিক বস্তুর সরণের দিকের বিপরীত হয় এবং ১৮০ ° কোণ তৈরি করে , তবে এটি বস্তুটির উপর ঋণাত্মক কাজ করে।
চিত্র ৩. বল (F) – সরণ (s) লেখচিত্র। কৃতকার্য ছায়াচ্ছন্ন ক্ষেত্রফলের সমান।
যখন কোনো বস্তু সরণ ঘটায়, তখন একটি ধ্রুব বল দ্বারা বস্তুটির উপর কৃত কাজ, বল (F) – অবস্থান (s) লেখচিত্রের ছায়াচ্ছন্ন অংশের সমান হয়।
কাজকে W (বড় হাতের অক্ষর) এবং ওজনকে w (ছোট হাতের অক্ষর) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কাজের এসআই একক হলো নিউটন ∙ মিটার (N m)। এটি জুলের সমতুল্য, যার সংক্ষিপ্ত রূপ হলো J।
ঊনবিংশ শতাব্দীর ব্রিটিশ চিকিৎসক জেমস প্রেসকট জুলের প্রতি শ্রদ্ধা জানাতে এর এমন নামকরণ করা হয়েছিল।
উদাহরণ প্রশ্ন ১: একটি ধ্রুব বল দ্বারা কৃত কাজ
একটি বস্তু ঘর্ষণহীন মেঝের উপর স্থির অবস্থায় আছে। বস্তুটির উপর মেঝের সাথে ৩০-ডিগ্রি কোণে ১০ নিউটনের একটি বল প্রয়োগ করা হলো। যদি বস্তুটি ১ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে, তবে বলটি দ্বারা বস্তুটির উপর কত কাজ করা হয়?
সমাধান:
জানা আছে: F = 10 N, s = 1 মিটার
আবশ্যক: কাজ (W)
W = (F)(s)(cos 30 o ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N m
উদাহরণ প্রশ্ন ২: একটি ধ্রুব বল দ্বারা কৃত কাজ
ভূমি থেকে ১০ মিটার উচ্চতা থেকে ০.২ কেজি ভরের একটি নারকেল মুক্তভাবে পড়ছে। যদি এর অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/সে² হয় , তবে নারকেলটির ওজনের কারণে এর উপর কত কাজ করা হয়?
সমাধান:
জানা আছে: m = ০.২ কেজি, h = ১০ মিটার, g = ১০ মিটার/ সেকেন্ড²
প্রয়োজন: ওজন (w) অনুযায়ী কাজ (W)
W = F s = wh = mgh = (0.2 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 20 kg m 2 /s 2 = 20 N m = 20 জুল
১.১.২ পরিবর্তনশীল বল দ্বারা কৃত কাজ
পরিবর্তনশীল বলের একটি উদাহরণ হলো স্প্রিং বল। স্প্রিং বলের পরিমাণ ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। তাই, কোনো বস্তুর উপর স্প্রিং বল দ্বারা কৃত কাজ ধ্রুব বলের কাজের সূত্র (W = F s cos θ) ব্যবহার করে গণনা করা যায় না। যদি একটি স্প্রিংকে প্রসারিত করা হয়, তবে স্প্রিংটিকে যত বেশি প্রসারিত করা হয়, এটিকে প্রসারিত করতে তত বেশি টান বলের প্রয়োজন হয়। এবং যদি স্প্রিংটিকে সংকুচিত করা হয়, তবে স্প্রিংটিকে যত বেশি সংকুচিত করা হয়, তত বেশি ধাক্কা বলের প্রয়োজন হয়। যখন স্প্রিং সংকুচিত বা প্রসারিত হয়, তখন স্প্রিং বল 0 (x = 0) থেকে একটি সর্বোচ্চ মানে (F = kx) পরিবর্তিত হয়। সুতরাং, স্প্রিং বলের পরিমাণ গড় ব্যবহার করে গণনা করা হয়। স্প্রিং বলের গড় পরিমাণ হলো:
কোনো বস্তুর উপর স্প্রিং বল দ্বারা কৃত কাজ হলো:
W = কৃতকার্য, x = Δx = স্প্রিংয়ের বিচ্যুতি (মিটার), F = স্প্রিং বল (নিউটন)।
উদাহরণ প্রশ্ন ৩: পরিবর্তনশীল বল দ্বারা কৃত কাজ
একটি স্প্রিং-এ ১ কেজি ভরের একটি ওজন ঝোলানো হয়েছে, ফলে স্প্রিংটি ২ সেমি প্রসারিত হয়। যদি অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/সে² হয় , তবে নির্ণয় করুন (ক) স্প্রিং ধ্রুবক (খ) ওজনটির উপর স্প্রিং বল দ্বারা কৃত কাজ।
সমাধান:
জ্ঞাত: m = ১ কেজি, g = ১০ মি/সে² , x = Δx = ২ সেমি = ০.০২ মি।
(ক) স্প্রিং ধ্রুবক
(খ) স্প্রিং বল দ্বারা ওজনটির উপর কাজটি করা হয়েছিল
W = -1/2 kx 2 = -1/2 (500)(0.02) 2 = – (250)(0.0004) = -0.1 জুল
ওজনের উপর স্প্রিং বল দ্বারা কৃত কাজের মান ঋণাত্মক হয়, কারণ স্প্রিং বলের দিক ওজনের সরণের দিকের বিপরীত (স্প্রিং বল উপরের দিকে, ওজন নিচের দিকে)।
১.২ নেট কাজ বা নেট শক্তি দ্বারা কাজ
যখন কোনো বস্তুর সরণ ঘটে এবং বস্তুটির উপর কেবল একটিই বল কাজ করে, তখন লব্ধি বল দ্বারা কৃত কাজ, উক্ত বল দ্বারা কৃত কাজের সমান হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো বস্তু মুক্তভাবে পড়তে থাকে এবং বায়ুর বাধা উপেক্ষা করা হয়, তবে বস্তুটির উপর একমাত্র যে বলটি কাজ করে তা হলো মহাকর্ষ বল। এক্ষেত্রে, বস্তুটির উপর লব্ধি বল হলো মহাকর্ষ বল (চিত্র ২ দেখুন)।
W নেট = W মহাকর্ষ
যখন কোনো বস্তু সরণ ঘটায় এবং বস্তুটির উপর একাধিক বল কাজ করে, তখন ঐ বস্তুটির উপর ক্রিয়াশীল সকল বলের মোট কৃত কাজের সমান লব্ধি বল দ্বারা কৃত কাজ হয় (চিত্র ১ দেখুন)।
W নেট = W 1 + W 2 + W 3 + W 4
কোনো বস্তুর উপর মোট বল দ্বারা কৃত কাজ প্রথমে মোট বল নির্ণয় করে এবং তারপর তাকে সরণের পরিমাণ দিয়ে গুণ করেও গণনা করা যায়।
W = ΣF s
উদাহরণ প্রশ্ন ৪: নেটওয়ার্ক
মেঝেতে রাখা একটি স্থির বাক্সকে ২০ নিউটন বল প্রয়োগ করে ধাক্কা দেওয়া হলো, যতক্ষণ না বাক্সটি ১ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। যদি ধাক্কা বলটি বাক্সটির সরণের দিকে হয় এবং বাক্সটির উপর ২ নিউটনের একটি গতি ঘর্ষণ বল কাজ করে, তবে বাক্সটির উপর মোট বল দ্বারা কৃত মোট কাজের পরিমাণ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
জ্ঞাত: F = 20 N, f k = 2 N, s = 1 m
W 1 = F s = (20 N)(1 m) = 20 Nm = 20 জুল
W 2 = f k s = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 জুল
মোট কাজ বা মোট বল দ্বারা কৃত কাজ
W নেট = W 1 – W 2 = 20 J – 2 J = 18 J
উদাহরণ প্রশ্ন ৪) ধাক্কা বল (F) ধনাত্মক কাজ করে, গতি ঘর্ষণ বল (f k ) ঋণাত্মক কাজ করে।
