প্রক্ষেপণ গতি – সমস্যা ও সমাধান

২৭ প্রক্ষেপণ গতি – সমস্যা ও সমাধান

একটি বুলেট θ = ৬০° কোণে ২০ ^মি / সে বেগে ছোড়া হলো । অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/সে² ^। সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছাতে কত সময় লাগবে?

জ্ঞাত :

বুলেটের প্রাথমিক বেগ (v _o ) = 20 মি/সে

কোণ (θ) = ৬০ ^° সেলসিয়াস

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 ms ^–2

কাঙ্ক্ষিত : সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়কাল

সমাধান:

অনুভূমিক দিকে (x অক্ষ বরাবর) প্রাথমিক বেগ:

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20)(0.5) = 10 m/s

উল্লম্ব দিকে (y অক্ষ) প্রাথমিক বেগ:

v _oy = vo sin 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

এই সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়কাল:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = উল্লম্ব দিকে চূড়ান্ত বেগ = সর্বোচ্চ বিন্দুতে চূড়ান্ত বেগ = ০ মি/সে

v _oy = অনুভূমিক দিকে প্রাথমিক বেগ = 10√3 মি/সে

g = অভিকর্ষজ ত্বরণ = 10 m/ ^s²

t = সময় ব্যবধান

সময়কাল:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

১০√৩ = ১০ t

t = 10√3 / 10

t = √3 সেকেন্ড

২. একটি বস্তুকে একটি কোণে নিক্ষেপ করা হলো। ১ সেকেন্ড এবং ৩ সেকেন্ড সময় ব্যবধানে বস্তুটির উচ্চতা একই থাকে। বাতাসে বস্তুটির অবস্থানকাল কত?

সমাধান:

বস্তুটি ৪ সেকেন্ড ধরে বাতাসে ছিল।

৩. একটি বিমান ৫০ মি/সে বেগে আনুভূমিকভাবে চলছে । ২ কিমি উচ্চতা থেকে বিমানটি থেকে একটি বস্তু ফেলা হলো। অভিকর্ষজ ত্বরণ = ১০ মি/ সে²। বস্তুটি মাটিতে আঘাত করার আগে সময়কাল কত হবে?

জ্ঞাত :

উচ্চতা = ২ কিমি = ২০০০ মিটার

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 m/ ^s²

প্রয়োজনীয় : সময় ব্যবধান (t)

সমাধান:

h = 1/2 gt ^​​2

2000 = 1/2 (10) t ²

১০ = ৪.৯ t ^২

t ² = 2000/5 = 400

t = √400 = ২০ সেকেন্ড

^{৪. লাথি মারা একটি ফুটবল অনুভূমিকের সাথে θ = ৪৫ °} কোণে ২৫ মি/সে প্রাথমিক গতিবেগে ভূমি থেকে যাত্রা শুরু করে। X-এর দূরত্ব নির্ণয় করুন। অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/ ^সে² ।

জ্ঞাত :

প্রাথমিক গতি (v _o ) = 25 মি/সে

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 m/ ^s²

কোণ (θ) = ৪৫ ^°

আবশ্যক : X

সমাধান:

প্রাথমিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ :

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

প্রাথমিক বেগের উল্লম্ব উপাংশ:

v _oy = v _o sin θ = (25 m/s)(sin 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

প্রক্ষেপণ গতিকে এর অনুভূমিক এবং উল্লম্ব উপাংশগুলোকে আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করে বোঝা যায়। x-অক্ষ বরাবর গতিটি ধ্রুব বেগে এবং y-অক্ষ বরাবর গতিটি ধ্রুব অভিকর্ষজ ত্বরণে ঘটে থাকে।

আকাশে থাকার সময় (t) :

ঊর্ধ্বমুখী উল্লম্ব গতির সমীকরণের সাহায্যে বাতাসে থাকার সময় গণনা করা হয়।

উপরের দিককে ধনাত্মক এবং নিচের দিককে ঋণাত্মক হিসেবে বেছে নিন।

জ্ঞাত :

প্রাথমিক বেগ (v _o ) = 12.5√2 মি/সে (ঊর্ধ্বমুখী, ধনাত্মক)

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = -10 মি/সে² ⁽ নিম্নমুখী, ঋণাত্মক)

উচ্চতা (h) = 0

প্রয়োজনীয় : সময় ব্যবধান (t)

সমাধান:

h = v _o t + 1/2 gt ^​​2

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t ²

0 = 12.5√2 t – 5 t ²

১২.৫√২ t = ৫ t ^২

১০√৩ = ১০ t

t = 12.5√2 / 5

t = ২.৫√২ সেকেন্ড

অনুভূমিক দূরত্ব (X) :

ধ্রুব বেগে সুষম রৈখিক গতির সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করা হয়েছে ।

জ্ঞাত :

বেগ (v) = ১২.৫√২ মি/সে

সময় ব্যবধান (t) = ২.৫√২ সেকেন্ড

প্রয়োজন: দূরত্ব

সমাধান:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 মিটার

^{৫. অনুভূমিকের সাথে θ = ৩০ °} কোণে উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তুর প্রাথমিক গতিবেগ ২০ মি/সে। অভিকর্ষজ ত্বরণ ১০ মি/সে² ^। বস্তুটির সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করুন।

জ্ঞাত :

প্রাথমিক বেগ (v)_o) = ১০ মি/সে

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 10 m/ ^s²

কোণ (θ) = ৪৫ ^°

প্রয়োজনীয় : সর্বোচ্চ উচ্চতা

সমাধান:

প্রথমে, প্রাথমিক বেগের উল্লম্ব উপাংশ (v _oy ) নির্ণয় করুন :

v _oy = v _o sin 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 m/s

সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করুন। ঊর্ধ্বমুখী দিককে ধনাত্মক এবং নিম্নমুখী দিককে ঋণাত্মক হিসেবে ধরুন।

জ্ঞাত :

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = -10 মি/সে² ⁽ নিম্নমুখী , ঋণাত্মক )

প্রাথমিক বেগের উল্লম্ব উপাংশ (v _oy ) = 10 মি/সে ( ঊর্ধ্বমুখী, ধনাত্মক )

সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ (v _ty ) = 0

প্রয়োজনীয় : সর্বোচ্চ উচ্চতা (h)

সমাধান:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

০ = ১০০ – ২০ ঘন্টা

১০০ = ২০ ঘন্টা

h = ১০০/২০

h = ৫ মিটার

সর্বোচ্চ উচ্চতা ৫ মিটার।

৬. একটি বস্তুকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা কোণে নিক্ষেপ করা হলো। ১ সেকেন্ড এবং ৩ সেকেন্ড পর বস্তুটির উচ্চতা একই থাকে। বাতাসে অতিবাহিত সময় নির্ণয় করুন।

এ. ৩.৬ সেকেন্ড

বি. ৪.০ সেকেন্ড

সি. ৫.৬ সেকেন্ড

ডি. ৬.৪ সেকেন্ড

সমাধান

বাতাসে থাকার সময় = ৪ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তরটি হলো B।

৭. একটি বিমান ৫০ মি/সে বেগে আনুভূমিকভাবে চলছে। বিমানটি যখন ২ কিমি উচ্চতায় থাকে, তখন একটি বস্তু বিমান থেকে অবাধে পড়তে পারে। বস্তুটির গতির ধরন নির্ণয় করুন।

এ. মুক্ত পতন গতি

খ. ভাসমান গতি

গ. অনুভূমিক গতি

ঘ. প্রক্ষেপণ গতি

সমাধান:

চলন্ত বিমান থেকে বস্তুটি ফেলা হয় কারণ এটির গতিবেগ বিমানের গতিবেগের সমান, অর্থাৎ ৫০ মি/সে। বস্তুর গতি মুক্ত পতনের মতো নয়, বরং অধিবৃত্তীয় গতি। বিষয়টি অনেকটা চলন্ত গাড়ির ভেতর থেকে কোনো বস্তু ফেলার মতোই।

সঠিক উত্তরটি হলো D।

৮. ৬০ মিটার উঁচু একটি খাড়া পাহাড়ের চূড়া থেকে একটি বলকে ১৫ মি/সে বেগে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলো। বলটি মাটিতে পড়তে কত সময় লাগবে?
সমাধান: \( h = \frac{1}{2} gt^2 \) ব্যবহার করে, আমরা সময় পাই \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \)।

৯. একটি প্রক্ষেপককে আনুভূমিকের সাথে ৩০° কোণে ২০ মি/সে প্রাথমিক গতিবেগে নিক্ষেপ করা হলো। এটি সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় পৌঁছাবে?
সমাধান: \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) সূত্র ব্যবহার করে, সর্বোচ্চ উচ্চতা হলো \( h \approx 10.2\ \text{m} \)।

১০. ৮০ মিটার উঁচু একটি টাওয়ার থেকে একটি পাথর ১০ মি/সে বেগে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলো। মাটিতে পড়ার আগে পাথরটি আনুভূমিকভাবে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে তা নির্ণয় করুন।
সমাধান: সমস্যা ১-এর অনুরূপ পদ্ধতিতে প্রাপ্ত সময় ব্যবহার করে, আনুভূমিক দূরত্ব হলো \( d = vt \approx 40\ \text{m} \)।

১১. একটি কামানের গোলা ৪৫° কোণে ৪০ মি/সে বেগে ছোড়া হলো। এর উড্ডয়নকাল নির্ণয় করুন।
সমাধান: \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) সূত্র ব্যবহার করে, উড্ডয়নকাল হলো \( t \approx 5.8\ \text{s} \)।

১২. একটি বেসবল ৬০° কোণে ১২ মি/সে বেগে নিক্ষেপ করা হলো। এর আনুভূমিক পাল্লা নির্ণয় করুন।
সমাধান: \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) ব্যবহার করে, পাল্লা হলো \( R \approx 14.0\ \text{m} \)।

১৩. একটি প্রক্ষেপককে আনুভূমিকের সাথে ৩৭° কোণে ৫০ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক বেগে নিক্ষেপ করা হলো। এর উল্লম্ব বেগ উপাংশ কত?
সমাধান: উল্লম্ব উপাংশটি হলো \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \)।

১৪. একটি প্রক্ষেপক ১০০ মিটার উচ্চতা থেকে ২০ মি/সে বেগে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলো। ভূমিতে আঘাত করার ঠিক আগে এর উল্লম্ব বেগ কত?
সমাধান: \( v_y = \sqrt{2gh} \) ব্যবহার করে, উল্লম্ব বেগ হলো \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \)।

১৫. একটি পাথরকে আনুভূমিকের উপরে ২৫° কোণে ১৫ মি/সে প্রাথমিক গতিবেগে নিক্ষেপ করা হলো। বেগটির আনুভূমিক এবং উল্লম্ব উপাংশ কত?
সমাধান: আনুভূমিক উপাংশটি হলো \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), এবং উল্লম্ব উপাংশটি হলো \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \)।

১৬. একটি ফুটবলকে আনুভূমিকের সাথে ৪০° কোণে ৩০ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক গতিবেগে লাথি মারা হলো। এর আনুভূমিক বেগের উপাংশ কত?
সমাধান: অনুভূমিক উপাংশটি হলো \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \)।

১৭. একটি গল্ফ বলকে ৭০ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক গতিবেগে এবং ২০° কোণে আঘাত করা হলো। বলটির উড্ডয়নকাল কত?
সমাধান: উড্ডয়ন সময়ের সমীকরণ ব্যবহার করে, সময়টি হলো \( t \approx 4.9\ \text{s} \)।

১৮. একটি প্রক্ষেপক ভূমি থেকে আনুভূমিকের ৫৩° কোণে ২৫ মি/সে বেগে নিক্ষেপ করা হলো। এর প্রাথমিক উল্লম্ব বেগের উপাংশ কত?
সমাধান: উল্লম্ব উপাংশটি হলো \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \)।

১৯. একটি বেসবল ২০ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক গতিবেগে ৫০° কোণে নিক্ষেপ করা হলো। এর সর্বোচ্চ উচ্চতা কত?
সমাধান: সর্বোচ্চ উচ্চতার সমীকরণ ব্যবহার করে, উচ্চতা হলো \( h \approx 15.3\ \text{m} \)।

২০. ১০ মিটার উচ্চতা থেকে একটি বুলেটকে ২০০ মি/সে বেগে আনুভূমিকভাবে ছোড়া হলো। বুলেটটি মাটিতে পড়তে কত সময় লাগবে?
সমাধান: সময়ের সমীকরণ ব্যবহার করে, সময় হলো \( t \approx 1.4\ \text{s} \)।

২১. একটি কামানের গোলা ৪৫ মি/সে বেগে ৩০° কোণে ছোড়া হলো। এর পাল্লা নির্ণয় করুন।
সমাধান: পরিসরের সমীকরণ ব্যবহার করে, পরিসর হলো \( R \approx 88.2\ \text{m} \)।

২২. একটি বাস্কেটবল ৭৫° কোণে ১০ মি/সে বেগে নিক্ষেপ করা হলো। এর আনুভূমিক পাল্লা নির্ণয় করুন।
সমাধান: পরিসরের সমীকরণ ব্যবহার করে, পরিসর হলো \( R \approx 5.3\ \text{m} \)।

২৩. একটি প্রক্ষেপককে আনুভূমিকের সাথে ২২° কোণে ৩০ মি/সে প্রাথমিক বেগে নিক্ষেপ করা হলো। ভূমিতে আঘাত করার ঠিক আগে এর উল্লম্ব বেগ কত?
সমাধান: উল্লম্ব বেগের সমীকরণ ব্যবহার করে, উল্লম্ব বেগ হলো \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \)।

২৪. ৪০ মিটার উঁচু একটি টাওয়ার থেকে একটি পাথর ৮ মি/সে বেগে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলো। পাথরটি আনুভূমিকভাবে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
সমাধান: আনুভূমিক দূরত্বের সমীকরণ ব্যবহার করে, দূরত্বটি হলো \( d \approx 16\ \text{m} \)।

২৫. একটি ফুটবলকে আনুভূমিকের সাথে ৩০° কোণে ১২ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক গতিবেগে লাথি মারা হলো। বেগটির আনুভূমিক এবং উল্লম্ব উপাংশগুলো কী?
সমাধান: আনুভূমিক উপাংশ হলো \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), এবং উল্লম্ব উপাংশ হলো \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \)।

১৭. একটি গল্ফ বলকে ৭০ মি/সেকেন্ড প্রাথমিক গতিবেগে এবং ২০° কোণে আঘাত করা হলো। বলটির উড্ডয়নকাল কত?
সমাধান: উড্ডয়ন সময়ের সমীকরণ ব্যবহার করে, সময়টি হলো \( t \approx 2.6\ \text{s} \)।

২৭. একটি প্রক্ষেপক ভূমি থেকে আনুভূমিকের সাথে ৬০° কোণে ৪০ মি/সে বেগে ছোড়া হলো। এর প্রাথমিক আনুভূমিক বেগের উপাংশ কত?
সমাধান: অনুভূমিক উপাংশটি হলো \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \)।