৩০। কিছু তাপগতি প্রক্রিয়ায় তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্রের প্রয়োগ (সমচাপীয়, সমতাপীয়, সমআয়তনীয়)
১. নিচের লেখচিত্রটি একটি গ্যাসের তাপগতিবিদ্যা চক্র দেখায়। ABCD প্রক্রিয়ায় গ্যাস দ্বারা কৃত কাজ হলো …
জ্ঞাত :
চাপ 1 (P 1 ) = 2 x 10 5 Pa
চাপ 2 (P 2 ) = 4 x 10 5 Pa
আয়তন 1 (V 1 ) = 1 ঘনমিটার
আয়তন 2 (V 2 ) = 3 ঘনমিটার
জ্ঞাত: ABCD প্রক্রিয়ায় গ্যাস দ্বারা কৃত কাজ (W)।
সমাধান:
গ্যাস দ্বারা কৃত কাজ ABCD-এর ক্ষেত্রফলের সমান।
W = (P 2 – P 1 )(V 2 – V 1 )
W = (4 x 10 5 – 2 x 10 5 )(3 – 1)
W = (2 x 10 5 )(2)
W = ৪ x ১০⁵ জুল
২. ABC প্রক্রিয়ায় গ্যাস দ্বারা কৃত কাজ হলো…
জ্ঞাত :
চাপ 1 (P 1 ) = 3 x 10 5 Pa
চাপ 2 (P 2 ) = 6 x 10 5 Pa
আয়তন 1 (V 1 ) = 20 cm 3 = 20 x 10 -6 m 3
আয়তন 2 (V 2 ) = 60 cm 3 = 60 x 10 -6 m 3
জ্ঞাত : ABC প্রক্রিয়ায় গ্যাস দ্বারা কৃত কাজ
সমাধান:
গ্যাস দ্বারা কৃত কাজ = ABC-এর ক্ষেত্রফল।
W = ½ (P 2 – P 1 )(V 2 – V 1 )
W = 1/2 (6 x 10 5 – 3 x 10 5 )(60 x 10 -6 – 20 x 10 -6 )
W = 1/2 (3 x 10 5 )(40 x 10 -6 )
W = ১/২ (১২০ x ১০⁻¹ জুল )
W = ১/২ (১২ জুল)
W = ৪০০ জুল
৩. নিচের চিত্রে একটি বদ্ধ পাত্রে থাকা গ্যাসের PV ডায়াগ্রাম দেখানো হয়েছে। গ্যাস দ্বারা কৃত কাজ কোন প্রক্রিয়ায় দেখানো হয়েছে?
সমাধান
প্রক্রিয়া AB এবং প্রক্রিয়া DC হলো সমচাপীয় প্রক্রিয়া (চাপ স্থির রাখা হয়) । প্রক্রিয়া AD এবং প্রক্রিয়া BC হলো সমচাপীয় প্রক্রিয়া ( আয়তন পরিবর্তন হয় না ) ।
গ্যাসের প্রসারণের ফলে কাজটি সম্পন্ন হয় (প্রক্রিয়া ডিসি)।
সমচাপ প্রক্রিয়া (ধ্রুব চাপ) সম্পর্কিত ৯টি সমস্যা ও তার সমাধান নিচে দেওয়া হলো:
সমস্যা 1:
স্থির চাপে থাকা ৩.০ ঘনমিটার আয়তনের একটি গ্যাসকে সংকুচিত করে ২.০ ঘনমিটার করা হলো। যদি প্রাথমিক তাপমাত্রা ৩০০ কেলভিন হয়, তবে চূড়ান্ত তাপমাত্রা কত হবে?
সমাধান:
সমচাপীয় প্রক্রিয়ার সমীকরণ: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\) ব্যবহার করে, আমরা চূড়ান্ত তাপমাত্রা নির্ণয় করতে পারি:
\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} \implies T_2 = \frac{2.0 \times 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]
সমস্যা 2:
২ atm চাপে সমচাপীয়ভাবে ১ লিটার থেকে ৩ লিটার পর্যন্ত প্রসারিত হওয়া ২ মোল গ্যাসের কৃত কাজ গণনা করুন।
সমাধান:
সমচাপীয় প্রক্রিয়ায় কৃত কাজের সমীকরণ ব্যবহার করে: \( W = P \Delta V \):
\[
W = 2\, \text{atm} \times (3 – 1)\, \text{লিটার} = 4\, \text{atm}\cdot\text{লিটার}
\]
সমস্যা 3:
৪ মোল আদর্শ দ্বিপরমাণু গ্যাসকে স্থির চাপে ২০০ কেলভিন থেকে ৩০০ কেলভিন পর্যন্ত উত্তপ্ত করলে এর অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন কত হয়?
সমাধান:
দ্বিপরমাণু গ্যাসের জন্য স্থির চাপে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে: \( \Delta U = nC_pdT \), যেখানে \( C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
ΔU = 4 × 7/2 × 8.314 × (300 – 200) ≈ 6990 জুল
\]
সমস্যা 4:
সমচাপ প্রক্রিয়ায় 400 K তাপমাত্রায় 2 মোল একপরমাণু গ্যাস 5 লিটার থেকে 10 লিটারে প্রসারিত হলে কী পরিমাণ তাপ যোগ হয় তা গণনা করুন।
সমাধান:
সমচাপীয় প্রক্রিয়ায় তাপ স্থানান্তরের সমীকরণ ব্যবহার করে: \( Q = nC_pdT \), যেখানে \( C_p = \frac{5}{2}R \), এবং \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):
\[
Q = 2 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times \left(400 \times \frac{10}{5} – 400\right) = 3316\, \text{J}
\]
সমস্যা 5:
২০০ কেলভিন তাপমাত্রায় ৩ মোল ত্রিপরমাণু গ্যাসকে ১ লিটার থেকে ২ লিটারে প্রসারিত করা হলে তার এনথালপির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
সমচাপীয় প্রক্রিয়ার এনথালপি পরিবর্তনের সূত্র ব্যবহার করে: \( \Delta H = nC_pdT \), যেখানে \( C_p = \frac{f}{2}R \) এবং \( f = 6 \):
\[
ΔH = 3 × 6/2 × 8.314 × (200 × 2/1 – 200) = 4989 জুল
\]
সমস্যা 6:
স্থির চাপে 300 K তাপমাত্রায় ও প্রাথমিকভাবে 5 লিটার আয়তনের 2 মোল গ্যাসকে 500 K তাপমাত্রায় উত্তপ্ত করা হলে তার চূড়ান্ত আয়তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
সমচাপীয় প্রক্রিয়ার সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{5 \times 500}{300} \approx 8.33\, \text{লিটার}
\]
সমস্যা 7:
একটি একপরমাণু গ্যাসকে ২ atm চাপে ৬ লিটার থেকে ৩ লিটারে সংকুচিত করতে কৃত কাজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
সমচাপীয় প্রক্রিয়ায় কৃত কাজের সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[
W = P ΔV = 2 × (3 – 6) = -6 atm ÷ লিটার
\]
সমস্যা 8:
একটি দ্বিপরমাণু গ্যাস 300 K তাপমাত্রায় সমচাপীয় প্রসারণের মাধ্যমে 3 লিটার থেকে 6 লিটারে উন্নীত হয়। এনট্রপির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
একটি দ্বিপরমাণু গ্যাসের জন্য সমচাপীয় প্রক্রিয়ায় এনট্রপি পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে, যেখানে \( C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 2 \times \frac{7}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300 \times \frac{6}{3}}{300} + 2 \times 8.314 \times \ln\frac{6}{3} \approx 34.76\, \text{J/K}
\]
সমস্যা 9:
৫০০ কেলভিন তাপমাত্রায় ৫ মোল ত্রিপরমাণু গ্যাসকে ১০ লিটার থেকে ৫ লিটারে সমচাপীয় সংকোচনের ফলে সৃষ্ট তাপ স্থানান্তর গণনা করুন।
সমাধান:
সমচাপীয় প্রক্রিয়ায় তাপ স্থানান্তরের সমীকরণ ব্যবহার করে, যেখানে \( C_p = \frac{f}{2}R \) এবং \( f = 6 \):
\[
Q = 5 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times \left(500 \times \frac{5}{10} – 500) = -12473\, \text{J}
\]
এই সমস্যাগুলো সমচাপ প্রক্রিয়া সম্পর্কিত বিভিন্ন ধারণা সম্পর্কে একটি পূর্ণাঙ্গ ধারণা দেবে।
সমতাপীয় প্রক্রিয়া (স্থির তাপমাত্রা) সম্পর্কিত ৯টি সমস্যা ও তার সমাধান নিচে দেওয়া হলো:
সমস্যা 1:
সমস্যা: 300 K তাপমাত্রায় সমতাপীয়ভাবে 2 মোল আদর্শ গ্যাস 1 লিটার থেকে 2 লিটার পর্যন্ত প্রসারিত হলে কৃত কাজ গণনা করুন।
সমাধান:
একটি আদর্শ গ্যাসের জন্য সমতাপীয় প্রক্রিয়ায় কৃত কাজের সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[ W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} \]
\[
W = 2 \times 8.314 \times 300 \times \ln\frac{2}{1} \approx 3454\, \text{J}
\]
সমস্যা 2:
সমস্যা: ৪০০ কেলভিন তাপমাত্রায় ৩ মোল গ্যাসকে সমতাপীয়ভাবে ৪ লিটার থেকে ২ লিটারে সংকুচিত করলে কী পরিমাণ তাপ স্থানান্তরিত হয়, তা নির্ণয় করুন।
সমাধান:
সমতাপীয় প্রক্রিয়ায় তাপ স্থানান্তরের সমীকরণ ব্যবহার করে: \( Q = W \):
\[
Q = 3 × 8.314 × 400 × ln(2/4) ≈ -3462 জুল
\]
সমস্যা 3:
৩০০ কেলভিন তাপমাত্রায় ৪ মোল গ্যাস সমতাপীয়ভাবে ১ লিটার থেকে ৫ লিটার পর্যন্ত প্রসারিত হলে এনট্রপির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
সমতাপীয় প্রক্রিয়ায় এনট্রপি পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[
\Delta S = nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 4 \times 8.314 \times \ln\frac{5}{1} \approx 46.15\, \text{J/K}
\]
সমস্যা 4:
২০০ কেলভিন তাপমাত্রায় ১ মোল আদর্শ গ্যাসকে সমতাপীয়ভাবে ৬ লিটার থেকে ৩ লিটারে সংকুচিত করতে কৃত কাজ গণনা করুন।
সমাধান:
সমতাপীয় প্রক্রিয়ায় কৃত কাজের সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[
W = 1 \times 8.314 \times 200 \times \ln\frac{3}{6} \approx -575\, \text{J}
\]
সমস্যা 5:
স্থির তাপমাত্রায় ৩ মোল গ্যাসের সমতাপীয় প্রসারণের ফলে এর আয়তন ২ লিটার থেকে ৬ লিটারে বৃদ্ধি পেলে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
একটি আদর্শ গ্যাসের সমতাপীয় প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে, অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন শূন্য হয়:
\[
ΔU = 0 জুল
\]
সমস্যা 6:
২৫০ কেলভিন তাপমাত্রায় ৫ মোল গ্যাসকে সমতাপীয়ভাবে ৩ লিটার থেকে ৬ লিটারে প্রসারিত করা হলে কী পরিমাণ তাপ স্থানান্তরিত হয়, তা নির্ণয় করুন।
সমাধান:
সমতাপীয় প্রক্রিয়ায় তাপ স্থানান্তরের সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[
Q = 5 \times 8.314 \times 250 \times \ln\frac{6}{3} \approx 2879\, \text{J}
\]
সমস্যা 7:
১৫০ কেলভিন তাপমাত্রায় সমতাপীয় সংকোচনের মাধ্যমে ২ মোল গ্যাসকে ৪ লিটার থেকে ২ লিটারে নামিয়ে আনার সময় কী পরিমাণ কাজ করা হয়?
সমাধান:
সমতাপীয় প্রক্রিয়ায় কৃত কাজের সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[
W = 2 \times 8.314 \times 150 \times \ln\frac{2}{4} \approx -1151\, \text{J}
\]
সমস্যা 8:
৫০০ কেলভিন তাপমাত্রায় ৩ মোল গ্যাসকে সমতাপীয়ভাবে ৫ লিটার থেকে ১ লিটারে সংকুচিত করলে এনট্রপির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
সমতাপীয় প্রক্রিয়ায় এনট্রপি পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[
ΔS = 3 × 8.314 × ln(1/5) ≈ -34.77 J/K
\]
সমস্যা 9:
১০০ কেলভিন তাপমাত্রায় ৪ মোল আদর্শ গ্যাস সমতাপীয়ভাবে ২ লিটার থেকে ৮ লিটার পর্যন্ত প্রসারিত হলে কৃত কাজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
সমতাপীয় প্রক্রিয়ায় কৃত কাজের সমীকরণ ব্যবহার করে:
\[
W = 4 \times 8.314 \times 100 \times \ln\frac{8}{2} \approx 2304\, \text{J}
\]
এই সমস্যাগুলিতে সমতাপীয় প্রক্রিয়া সম্পর্কিত বিভিন্ন ধারণা, যেমন কৃত কাজ, তাপ স্থানান্তর এবং এনট্রপির পরিবর্তন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।
এখানে সমায়তনিক প্রক্রিয়া (স্থির আয়তন) সম্পর্কিত ৯টি সমস্যা ও তার সমাধান দেওয়া হলো:
সমস্যা 1:
স্থির আয়তনে ৩ মোল একপরমাণুবিশিষ্ট আদর্শ গ্যাসের তাপমাত্রা ২০০ কেলভিন থেকে ৪০০ কেলভিনে বৃদ্ধি করা হলে এর অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
স্থির আয়তনে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে: \( \Delta U = nC_v\Delta T \), যেখানে \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
ΔU = 3 × 3/2 × 8.314 × (400 – 200) ≈ 3741 জুল
\]
সমস্যা 2:
স্থির আয়তনে ২ মোল দ্বিপরমাণু গ্যাসের তাপমাত্রা ৩০০ কেলভিন থেকে ২০০ কেলভিনে হ্রাস করা হলে তাপ স্থানান্তর নির্ণয় করুন।
সমাধান:
স্থির আয়তনে তাপ স্থানান্তরের সমীকরণ ব্যবহার করে: \( Q = \Delta U = nC_v\Delta T \), যেখানে \( C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
Q = 2 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times (200 – 300) \approx -4157\, \text{J}
\]
সমস্যা 3:
স্থির আয়তনে ৪ মোল ত্রিপরমাণু গ্যাসের তাপমাত্রা ১০০ কেলভিন থেকে ৩০০ কেলভিনে বৃদ্ধি পেলে এনট্রপির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
স্থির আয়তনে এনট্রপি পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে, যেখানে \( C_v = \frac{f}{2}R \) এবং \( f = 6 \):
\[
\Delta S = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300}{100} \approx 115.36\, \text{J/K}
\]
সমস্যা 4:
সমায়তনিক প্রক্রিয়ার সময় গ্যাস দ্বারা কৃত কাজ কত?
সমাধান:
যেহেতু সমায়তনিক প্রক্রিয়ার সময় আয়তন স্থির থাকে, তাই কোনো কাজ সম্পন্ন হয় না:
\[
W = 0\, \text{J}
\]
সমস্যা 5:
স্থির আয়তনে ৫ মোল একপরমাণু বিশিষ্ট আদর্শ গ্যাসকে ৫০০ কেলভিন থেকে ৩০০ কেলভিনে শীতল করা হলে তাপ স্থানান্তর নির্ণয় করুন।
সমাধান:
স্থির আয়তনে তাপ স্থানান্তরের সমীকরণ ব্যবহার করে, যেখানে \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
Q = 5 \times \frac{3}{2} \times 8.314 \times (300 – 500) \approx -6232\, \text{J}
\]
সমস্যা 6:
স্থির আয়তনে ১ মোল দ্বিপরমাণু গ্যাসের তাপমাত্রা ১৫০ কেলভিন থেকে ২৫০ কেলভিনে বৃদ্ধি করা হলে এর অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
স্থির আয়তনে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে, যেখানে \( C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
ΔU = 1 × 5/2 × 8.314 × (250 – 150) ≈ 2079 জুল
\]
সমস্যা 7:
স্থির আয়তনে ৩ মোল একপরমাণু গ্যাসের তাপমাত্রা ৬০০ কেলভিন থেকে ৩০০ কেলভিনে হ্রাস পেলে এনট্রপির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
স্থির আয়তনে এনট্রপির পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে, যেখানে \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
ΔS = 3 × 3/2 × 8.314 × ln(300/600) ≈ -34.59 জুল/কেলভিন
\]
সমস্যা 8:
স্থির আয়তনে ২ মোল ত্রিপরমাণু গ্যাসের তাপমাত্রা ২০০ কেলভিন থেকে ৪০০ কেলভিনে বৃদ্ধি করা হলে তাপ স্থানান্তর কত হবে?
সমাধান:
স্থির আয়তনে তাপ স্থানান্তরের সমীকরণ ব্যবহার করে, যেখানে \( C_v = \frac{6}{2}R \):
\[
Q = 2 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times (400 – 200) \approx 4986\, \text{J}
\]
সমস্যা 9:
স্থির আয়তনে ৪ মোল একপরমাণুবিশিষ্ট আদর্শ গ্যাসকে ২৫০ কেলভিন থেকে ৩৫০ কেলভিন পর্যন্ত উত্তপ্ত করলে এর অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন নির্ণয় করুন।
সমাধান:
স্থির আয়তনে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তনের সমীকরণ ব্যবহার করে, যেখানে \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
ΔU = 4 × 3/2 × 8.314 × (350 – 250) ≈ 4986 জুল
\]
এই সমস্যাগুলিতে বিভিন্ন ধরণের গ্যাসের জন্য সমায়তনিক প্রক্রিয়ার নানা দিক, যেমন তাপ স্থানান্তর, অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন এবং এনট্রপি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।
