Движение на снаряда

Статия за движението на снаряда и примерни задачи с решения

Начална скорост (v_o) и компонентите на началната скорост (v_ox и v_oy)

Обект, чиито параболични движения винаги имат начална скорост. Тъй като параболичното движение е комбинация от движения в хоризонтална и вертикална посока, началната скорост също има хоризонтален и вертикален компонент.

Ако обектът се движи параболично, както е показано на фигури 1 и 3, тогава началната скорост в хоризонтална посока (v _ox ) и началната скорост във вертикална посока (v _oy ) се изчисляват с помощта на уравнението:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Ако обектът се движи параболично, както е показано на фигура 2, тогава v _o = v _ox (v _oy = 0)

Скорост (v)_x и v_y) и позиция (x и y)

Скоростта в хоризонтална и вертикална посока за определен интервал от време се изчислява с помощта на уравнението:

v _x = v _ox = константа ( равномерно линейно движение )

v _y = v _oy + gt или v _y ² = v _oy ² + 2 gh (движение при свободно падане)

Положението на обектите в хоризонталната (x) и вертикалната (y) посока за определен интервал от време се изчислява с помощта на уравнението:

x = v ₊ t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Резултантна от скоростта (v) и позицията (h)

Резултантната скорост за определен интервал от време се изчислява с помощта на уравнението:

Посоката на обектите в определен интервал от време се изчислява с помощта на уравнението:

Забележки:

1. Хоризонталният компонент на параболичното движение се разглежда като равномерно линейно движение, следователно vox = vx е винаги константа

2. Вертикалният компонент на параболичното движение се разглежда като движение на свободно падане, така че ако обектът се движи параболично, както е показано на фигури 1 и 3, вертикалният компонент на скоростта на обекта на максимална височина е нула (v _y = 0). Ако хвърлите топче изправено нагоре на максимална височина, обектът ще остане в покой за момент (v _y = 0), преди да се обърне надолу. Следователно, скоростта на обекта, движещ се параболично на максимална височина = v _x = v _ox

3. Ако обектът се движи параболично, както е показано на Фигура 2, вертикалният компонент на параболичното движение се разглежда като движение на свободно падане. Ако обектът се движи параболично, както е показано на Фигури 1 и 3, тогава вертикалният компонент на параболичното движение се разглежда като вертикално движение нагоре.

Примерни проблеми:

1. Куршум е изстрелян в хоризонтална посока с начална скорост 20 m/s. Ако оръжието е на 5 метра над земята, определете:

а) време във въздуха

б) максималната височина

(в) хоризонталното разстояние

(г) скоростта на куршума при удара му в земята

Решение:

Движението в хоризонтална посока се анализира като равномерно линейно движение, докато движението във вертикална посока се анализира като движение при свободно падане.

известен:

vox = 20 м/с, _voy = 0 м/с, h = 5 м, g = 9.8 м _/ ^с²

а) Време във въздуха

Решението е като определяне на интервала от време (t) при движение на свободно падане.

Известни са: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Търси се: т

б) Максималната височина

Максимална височина = h = 5 метра.

в) Хоризонтално разстояние (d)

Решението е като определяне на разстоянието при равномерно линейно движение

Известно е: v _ox = 20 m/s, t = 1 секунда

Търси се: d

d = vt

d = (20 м/с)(1 с) = 20 м

г) Скорост, когато куршумът удари земята

vtx = _vox = 20 м/ _с

v _ty = ?

Първо, изчисляваме крайната скорост във вертикална посока (vty). Решението е като определяне на крайната скорост на движението при свободно падане.

Известно е: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Търси се: много _добър

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 м/с² ⁾ (1 с)

v _t = 9.8 м/с

Скоростта на куршума, когато той удари земята:

Посока на куршума:

Тъй като v _tx е в посока на положителната ос x (надясно), а v _ty е в посока на отрицателната ос y (надолу),

Посоката на куршума, когато той удари земята, е -26.1 ^° спрямо положителната ос x (вижте фигурата по-долу).

2. Оръдието е изстреляло куршум под ъгъл 30 ^° спрямо хоризонталата със скорост 60 m/s. Определете:

а) максималната височина

(б) скоростта на куршума на максимална височина

(в) време във въздуха

(d) хоризонталното разстояние

(д) скоростта на куршума, когато удари земята. Да предположим, че земята е равна. 🙂

Решение:

Движението в хоризонтална посока се анализира като равномерно линейно движение, движението във вертикална посока се анализира като вертикално движение нагоре.

Известно е: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Въз основа на известни данни, първо изчисляваме вертикалния (v _oy ) и хоризонталния (v _ox ) компонент на началната скорост (v _o ).

а) Максималната височина (h)

Решението е като определяне на максималната височина при вертикално движение нагоре.

известен:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

а) Максимална височина (h)

Решението е като определяне на максималната височина при вертикално движение нагоре.

известен:

v _oy = 30 m/s (това е началната скорост на куршума)

v _ty = 0 m/s (На максималната височина вертикалната скорост на куршума = 0 m/s. Това е крайната скорост.)

g = – 9.8 м/ ^с²

Търси се: ч

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) ч

0 = 900 – 19.6 ч

900 = 19.6 часа

h = 900/19.6

h = 45.9 метра

Максималната височина, постигната от куршума = 45.9 метра.

б) Скоростта на максималната височина

На максимална височина скоростта във вертикална посока = 0 m/s. На максимална височина има само скорост в хоризонтална посока. Скоростта в хоризонтална посока на максималната височина е равна на началната скорост в хоризонтална посока, която е 52.2 m/s. Посоката на скоростта в хоризонтална посока е винаги постоянна, т.е. в посока на положителната ос x (ако движението на обект е описано на диаграмата по-горе).

в) Време във въздуха

Решението е като определянето на интервала от време (t) в обсъждането на вертикалното движение нагоре.

известен:

v _oy = 30 m/s (това е началната скорост на куршума във вертикална посока)

g = – 9.8 м/ ^с²

h = 0 m (когато куршумът се върне на земята, изместването на куршума във вертикална посока = 0 m)

Търси се: т

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 м/ ^с² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 т

t = 30 / 4.9

t = 6.12 секунди

Време във въздуха = 6.12 секунди

г) Хоризонтално разстояние (d)

Решението е като определяне на разстоянието (d) при равномерно линейно движение.

известен:

vox = 52.2 м/ _с

t = 6.12 секунди

Търси се: d

d = vt = (52.2 м/с)(6.12 секунди) = 319.5 м

д) Скорост, когато куршумът удари земята

vtx = _vox = 52.2 м/ _с

v _ty = ?

Първо, изчисляваме крайната скорост във вертикална посока (v _ty ). Решението е да определим крайната скорост при вертикално движение нагоре.

Търсено време: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 секунди

Търси се: много _добър

v _ty = v _oy + gt

v/ _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 м/с

Отрицателният знак показва, че посоката на крайната скорост е надолу. Обърнете внимание, че началната скорост във вертикална посока е равна на крайната скорост във вертикална посока.

Скоростта на куршума при удара му в земята:

Посоката на куршума:

Тъй като v _tx е в посока на положителната ос x (надясно), а vty е в посока на отрицателната ос y (надолу),

Посоката на скоростта на куршума, когато той удари земята, е -30 ^° спрямо положителната ос x (вижте фигурата по-долу).

3. Топка е хвърлена от ръба на сграда с височина 50 метра с начална скорост 10 m/s. Ако топката е хвърлена под ъгъл 30° спрямо хоризонталата, определете:

(а) интервалът от време, през който топката достига земята

(б) скоростта на топката, когато тя удари земята

(в) хоризонталното разстояние, което топката може да достигне, се измерва от ръба на сградата

(d) максималната височина, достигната от топката

Решение:

Първо, изчисляваме вертикалния компонент (v _oy ) и хоризонталния компонент (v _ox ) на началната скорост (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 м/с)(0.87) = 8.7 м/с

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 м/с)(0.5) = 5 м/с

а) Времеви интервал, през който топката достига земята

Решението е като определяне на интервала от време (t) при вертикално движение нагоре. Големината на вектора, чиято посока е нагоре, е избрана да бъде положителна, а големината на вектора, чиято посока е надолу, е избрана да бъде отрицателна. Позицията на топката, където е хвърлена, е избрана като отправна точка. h е отрицателно, защото повърхността на земята е под отправната точка, g е отрицателно, защото посоката на ускорението на гравитацията е надолу.

известен:

v _oy = 5 м/с, h = – 5 м, g = – 9.8 м/ ^с²

Търси се: т

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 т – 4.9 т ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Използвайте квадратната формула:

Време във въздуха = интервал от време от хвърлянето на топката до достигането на земята = 1.64 секунди.

б) Скорост на топката, когато тя удари повърхността на земята

vtx = _vox = vx ₌ 8.7 м/ _с

v _ty = ?

Първо, изчисляваме крайната скорост във вертикална посока (v _ty ). Решението е като определяне на крайната скорост при вертикално движение нагоре.

Известни са: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 секунди

Търси се: много _добър

v _ty = v _oy + gt

v _/ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 м/с

Отрицателният знак показва, че посоката на крайната скорост е надолу.

Скоростта на куршума при удара му в земята:

Посоката на скоростта на куршума = посоката на движение на куршума, когато удари земята:

Скоростта на куршума при удара му в земята:

Тъй като vtx е в посока на положителната ос x (надясно), а vty е в посока на отрицателната ос y (надолу),

Посоката на куршума, когато удари земята, е -52° спрямо положителната ос x (вижте фигурата по-долу).

в) Хоризонталното разстояние, което топката може да достигне, се измерва от ръба на сградата

Решението е като определяне на изминатото разстояние (d) при равномерно линейно движение.

Известно: t = 1.64 секунди, v _x = 8.7 м/с

Търси се: d

d = vt = (8.7 м/с)(1.64 с) = 14.3 м

г) Максималната височина, достигната от топката

Известни са: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( вертикалният компонент на скоростта на максималната височина = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Търси се: ч

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 м/с = (5 м/с) ^² + 2(-9.8 м/с² ⁾ (ч)

0 м/с = 25 (м/с) ^² + (-19.6 м/с² ⁾ (ч)

25 (м/с) ^² = -19.6 м/с² (ч)

h = 25 (м/с) ^² : -19.6 м/с² ⁼ 1.3 метра

Максималната височина, достигната от топката = 1.3 метра над върха на сградата = 1.3 м + 50 м = 51.3 метра над повърхността на земята.