Статия за принципа на Бернулис и уравнението на Бернулис
Когато караме мотор, дрехите, които носим, се издуват назад. Понякога, ако вятърът духа силно, вратата може да се затвори сама. Въпреки че вятърът духа отвън, вратата е вътре в къщата.
Това може да се обясни с помощта на принципа на Бернули. Даниел Бернули (1700-1782) открива принцип, който може да се използва за обяснение на горното явление.
Принципът на Бернули
Принципът на Бернули гласи, че когато скоростта на потока на течността е висока, налягането на течността е ниско. Обратно, ако скоростта на потока на течността е ниска, налягането на течността е високо. Когато мотоциклетът се движи бързо, скоростта на въздуха отпред и отстрани на тялото ви е висока. По този начин налягането на въздуха става ниско. Задната част на тялото ви е блокирана от предната част на тялото ви, така че скоростта на въздуха отзад не се увеличава. В резултат на това налягането на въздуха в задната част на тялото ви става по-високо. Тъй като има разлика във въздушното налягане, където в задната част на тялото налягането на въздуха е по-високо от въздуха, ризата ви се избутва назад, така че дрехите ви изглеждат издути назад.
А какво да кажем за вратата на къщата, която се затваря сама, когато вятърът духа отвън? Въздухът извън къщата се движи по-бързо от въздуха вътре в къщата. В резултат на това въздушното налягане извън къщата е по-малко от въздушното налягане вътре в къщата. Тъй като има разлика в налягането, когато въздушното налягане вътре в къщата е по-голямо, вратата се избутва навън. С други думи, крилото на вратата се движи от място, където въздушното налягане е голямо, към място, където въздушното налягане е малко.
Уравнението на Бернули
Преди това научихме за принципа на Бернули. Бернули също така разви принципа количествено. За да изведем уравнението на Бернули, приемаме, че потокът на флуид е постоянен и ламинарен, некомпресиран, вискозитетът е минимален, така че може да бъде пренебрегнат.
В обсъждането на уравнението за непрекъснатост научихме, че дебитът на флуида може да варира и в зависимост от площта на потока на тръбата. Въз основа на описания по-горе принцип на Бернули, налягането на флуида също може да варира в зависимост от дебита на флуида. Налягането на флуида може да варира и в зависимост от височината на флуида. Връзката между налягане, дебит и височина на потока може да се получи от уравнението на Бернули.
Уравнението на Бернули е от решаващо значение, защото може да се използва за анализ на полети на самолети, водноелектрически централи, тръбопроводни системи и др. За да се изведе уравнението на Бернули като цяло, приемаме, че флуидът тече през тръба за поток с различна площ на напречното сечение и различна височина. За да изведем уравнението на Бернули, прилагаме теоремата за работата и енергията към флуида в тръбата за поток.
Непрозрачният цвят в тръбата за поток на фигурата по-долу показва поток на флуид, докато белият цвят не показва поток на флуид.
Флуидът в напречното сечение 1 (лявата страна) тече до L1 и принуждава флуида в сечение 2 (дясната страна) да се движи до L2 . Тъй като напречното сечение 2 отдясно е по-малко, скоростта на флуидния поток от дясната страна на тръбата за поток е по-голяма (Спомнете си уравнението за непрекъснатост). Това причинява разлика в налягането между сечение 2 (дясната страна на тръбата за поток) и сечение 1 (лявата страна на тръбата за поток) – Спомнете си принципа на Бернули. Флуидът, който е отляво на сечение 1, оказва налягане (P1 ) върху флуида отдясно и извършва работа:
Тогава уравнението W1 може да се запише като:
W1 = p1A1L1
В секция 2 (дясната страна на тръбата за поток), работата, извършена върху флуида, е:
W² = −p²A²L²
Отрицателният знак показва, че приложената сила е противоположна на посоката на движение. Следователно, флуидът извършва работа вдясно от напречното сечение 2. Освен това, гравитационната сила извършва работа върху флуида. В горния случай, някои флуидни маси се прехвърлят от сечение 1 до L1 към сечение 2 до L2 , където е обемът на флуида в сечение 1 (A1L1 ) = обемът на флуида в сечение 2 (A2L2 ) . Работата, извършена от гравитацията , е :
W³ = −mg( h² − h¹ )
W3 = −mg/ l² + mg / l
W³ = mgh1 − mgh2
Отрицателният знак се дължи на движението на течността нагоре, за разлика от посоката на гравитацията. По този начин, нетната работа, извършена върху течността, е:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
Теоремата за работата-енергия гласи, че нетната работа, извършена върху системата, е същата като промяната в кинетичната енергия. Следователно можем да заменим работата (W) с промените в кинетичната енергия (EK² – EK1 ).
Горното уравнение може да се запише отново:
W = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
EK2 ‐ ЕК1 = Р1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = Р1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
Течната маса, която тече до L1 в напречно сечение А1 = масата на флуида, която тече до L2 (напречно сечение А2). Масата на флуида, да речем m, има обем A1 L1 И А2 L2 къде1 L1 = А2 L2 (L2 е по-дълга от L1).
Сега заместваме m в горното уравнение с m = ρ AL:
Това е уравнението на Бернули. Уравнението на Бернули е изведено въз основа на принципа на работата-енергия, така че е форма на закон за запазване на енергията.
P = налягане, ρ = плътност, v = скорост на флуида, g = ускорение на гравитацията, h = височина на тръбата над земята.
Левият и десният сегмент от уравнението на Бернули по-горе могат да се отнасят до две точки навсякъде по тръбата за поток, така че можем да пренапишем горното уравнение като:
Сега нека разгледаме уравнението на Бернули за някои случаи.
Уравнението на Бернули в статични флуиди
Специалният случай на уравнението на Бернули е за статична течност, където течността няма скорост. Следователно, v1 = v2 = 0. В случай на статична течност, можем да формулираме уравнението на Бернули, както следва:
Ако h² – h1 = h, това уравнение може да се запише като:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Уравнението на Бернули върху тръба със същата височина
Ако височината на тръбата е еднаква, уравнението на Бернули се променя на:
