Формула электрычнага патэнцыялу для чатырохкропкавых зарадаў
Пенгантар
Электрычны патэнцыял — важнае паняцце ў электрафізіцы, якое дапамагае нам зразумець, як электрычныя зарады ўзаемадзейнічаюць у прасторы. Калі мы гаворым пра кропкавы зарад, мы маем на ўвазе зарад, які лічыцца сканцэнтраваным у адной кропцы прасторы. У гэтым артыкуле мы абмяркуем формулы электрычнага патэнцыялу для чатырох розных кропкавых зарадаў, як іх вылічыць і практычнае прымяненне гэтай канцэпцыі.
Асноўная канцэпцыя электрычнага патэнцыялу
Электрычны патэнцыял у пункце прасторы — гэта электрычная патэнцыяльная энергія на адзінку зарада, якую б адчуваў дадатны пробны зарад, размешчаны ў гэтым пункце. Электрычны патэнцыял звычайна вымяраецца ў вольтах (В). Матэматычна электрычны патэнцыял (В), выкліканы зарадам (q) на адлегласці (r) ад яго, задаецца формулай:
\[ V = \frac{kq}{r} \]
Дзе:
– \(V \) — электрычны патэнцыял (вольты),
– k — пастаянная Кулона (8.99 × 10^9, Н·м² C-2),
– \(q \) — зарад (кулон),
– \(r \) — адлегласць ад зарада да кропкі, дзе вылічваецца патэнцыял (метры).
Электрычны патэнцыял чатырох кропкавых зарадаў
Калі ў нас ёсць чатыры кропкавыя зарады (q_1), (q_2), (q_3) і (q_4), размешчаныя ў пазіцыях (x_1, y_1)), (x_2, y_2)), (x_3, y_3) і (x_4, y_4) у дэкартавых каардынатах, мы можам вылічыць поўны электрычны патэнцыял у пункце (P(x, y)), сумуючы электрычныя патэнцыялы кожнага зарада ў гэтым пункце.
Поўны электрычны патэнцыял (V) у пункце (P) вызначаецца па формуле:
\[ V = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 \]
Дзе:
– \(V_1 \) — электрычны патэнцыял, выкліканы \(q_1 \),
– \(V_2 \) — электрычны патэнцыял, выкліканы \(q_2 \),
– \(V_3 \) — электрычны патэнцыял, выкліканы \(q_3 \),
– \(V_4 \) — электрычны патэнцыял, абумоўлены \(q_4 \).
Электрычны патэнцыял, абумоўлены кожным зарадам у кропцы \(P \), можна запісаць як:
\[ V_1 = \frac{kq_1}{r_1}, \quad V_2 = \frac{kq_2}{r_2}, \quad V_3 = \frac{kq_3}{r_3}, \quad V_4 = \frac{kq_4}{r_4} \]
Дзе:
– \(r_1 \) — адлегласць паміж зарадам \(q_1 \) і кропкай \(P \),
– \(r_2 \) — адлегласць паміж зарадам \(q_2 \) і кропкай \(P \),
– \(r_3 \) — адлегласць паміж зарадам \(q_3 \) і кропкай \(P \),
– \(r_4 \) — адлегласць паміж зарадам \(q_4 \) і кропкай \(P \).
Адлегласць (r) паміж двума кропкамі ў дэкартавых каардынатах можна вылічыць па формуле:
\[r = \sqrt{(x – x_i)^2 + (y – y_i)^2} \]
Дзе:
– \((x, y) \) — каардынаты пункта \(P \),
– \((x_i, y_i) \) — каардынаты зарада \(q_i \) (i = 1, 2, 3, 4).
Такім чынам, мы можам вылічыць адлегласць (r) для кожнага зарада, а затым выкарыстаць формулу электрычнага патэнцыялу, каб знайсці патэнцыял у кропцы (P).
Кантох Перхітунган
Давайце разгледзім канкрэтны прыклад з чатырма кропкавымі зарадамі наступным чынам:
– (q_1 = 2, μ C) у пункце (0, 0),
– (q_2 = -3, μ C) у кропцы (1, 0),
– (q_3 = 4, μ C) у пункце (0, 1),
– (q_4 = -1, \mu \text{C}) у пункце (1, 1).
Мы хочам вылічыць электрычны патэнцыял у пункце \(P \), размешчаным у (2, 2).
Спачатку вылічваем адлегласць паміж кропкай \(P \) і кожным зарадам:
\[ r_1 = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
\[r_2 = \sqrt{(2-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5} \]
\[r_3 = \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{5} \]
\[r_4 = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2} \]
Затым мы выкарыстоўваем гэтае значэнне адлегласці для вылічэння электрычнага патэнцыялу, выкліканага кожным зарадам у кропцы \(P \):
\[ V_1 = \frac{8.99 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{2\sqrt{2}} \прыблізна 3.18 \times 10^3 \, \text{V} \]
\[V_2 = \frac{8.99 \times 10^9 \times (-3) \times 10^{-6}}{\sqrt{5}} \прыблізна -3.81 \times 10^3 \, \text{V} \]
\[V_3 = \frac{8.99 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{\sqrt{5}} \прыблізна 7.62 \times 10^3 \, \text{V} \]
\[V_4 = \frac{8.99 \times 10^9 \times (-1) \times 10^{-6}}{\sqrt{2}} \прыблізна -6.36 \times 10^3 \, \text{V} \]
Поўны электрычны патэнцыял у пункце \(P \) роўны суме ўсіх гэтых патэнцыялаў:
V = 3.18 × 10^3 – 3.81 × 10^3 + 7.62 × 10^3 – 6.36 × 10^3 прыблізна 0.63 × 10^3, V]
Прымяненне электрычнага патэнцыялу
Разуменне электрычнага патэнцыялу любога кропкавага зарада важна ў розных сферах прымянення, у тым ліку:
– Праектаванне электронных схем: інжынеры павінны разумець размеркаванне патэнцыялу ў ланцугу, каб забяспечыць належную працу кампанентаў.
– Электрычныя палі ў біялогіі: электрычны патэнцыял адыгрывае ролю ў функцыянаванні нервовых клетак і перадачы сігналаў у арганізме.
– Апрацоўка матэрыялаў: электрычны патэнцыял выкарыстоўваецца ў электрастатычных метадах, такіх як электрастатычнае нанясенне і рафінаванне матэрыялаў.
Выснова
Разлік электрычнага патэнцыялу некалькіх кропкавых зарадаў патрабуе базавага разумення таго, як працуе электрычны патэнцыял і як на яго ўплывае адлегласць паміж зарадамі. З дапамогай гэтай канцэпцыі мы можам больш эфектыўна тлумачыць і праектаваць сістэмы, якія ўключаюць электрычныя ўзаемадзеянні. Электрычны патэнцыял — гэта жыццёва важны інструмент, які дапамагае нам зразумець свет фізікі як на мікраскапічным, так і на макраскапічным узроўнях.
