Формулы для даўжыні струны, масы струны, частаты і нацяжэння струны
Пенгантар
Струны з'яўляюцца жыццёва важнай часткай многіх музычных інструментаў, ад гітар да скрыпак. Даўжыня, маса, частата і нацяжэнне струны адыгрываюць вырашальную ролю ў вызначэнні вышыні і якасці гуку, які яна выдае. У гэтым артыкуле мы абмяркуем, як гэтыя параметры ўзаемазвязаны адзін з адным праз фізіку і як яны прымяняюцца на практыцы, асабліва ў кантэксце музычных інструментаў.
Даўжыня радка
Даўжыня струны (\(L\)) — гэта адлегласць паміж двума кропкамі, дзе струна мацуецца або трымаецца. У музычных інструментах гэтая даўжыня звычайна вымяраецца ад кропкі, дзе струна пачынае вібраваць, да кропкі, дзе яна перастае вібраваць.
Даўжыня струны ўплывае на яе асноўную частату. У цэлым, чым даўжэйшая струна, тым ніжэйшая частата, якую яна генеруе. Сувязь паміж даўжынёй струны і частатой можна ўбачыць у асноўным ураўненні для стаячай хвалі на струне:
\[f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
Дзе:
– \(f \) — частата (Гц),
– \(n \) — нумар гармонікі (1 для асноўнай частаты, 2 для другой гармонікі і г.д.),
– \(L \) — даўжыня струны (метры),
– \(T \) — нацяжэнне струны (Ньютан),
– \( \mu \) — маса на адзінку даўжыні струны (кг/м).
Струнная імша
Маса струны (\(m\)) — гэта агульная маса струны. Маса на адзінку даўжыні (\(\mu\)) — гэта маса струны на адзін метр даўжыні струны і выражаецца як:
\[ \mu = \frac{m}{L} \]
Дзе:
– \(m \) — агульная маса струны (кг),
– \(L \) — даўжыня струны (метры).
Гэтая маса на адзінку даўжыні мае вырашальнае значэнне для вызначэння частаты ваганняў струны. Чым большы \(\μ\), тым ніжэйшая частата, якую стварае струна. Гэта таму, што цяжэйшым струнам патрабуецца больш энергіі для вібрацыі на зададзенай частаце.
Частата радкоў
Частата (\(f\)) — гэта колькасць ваганняў струны ў секунду. Асноўная частата (\(f_1\)) вібруючай струны — гэта самая нізкая частата, якую можна вылічыць па формуле:
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
Частату гармонікі таксама можна вылічыць па гэтай формуле, падставіўшы ў раўнанне нумар гармонікі \(n\):
\[f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
Дзе:
– \(f_n \) — частата n-й гармонікі (Гц),
– \(n \) — гарманічны лік.
Нацяжэнне струн
Нацяжэнне (\(T\)) — гэта сіла, якая прыкладваецца ўздоўж струны, каб нацягнуць яе. Гэта нацяжэнне вымяраецца ў ньютанах (Н) і з'яўляецца важным фактарам, які вызначае частату ваганняў струны.
Калі нацяжэнне струны павялічваецца, частата ваганняў таксама павялічваецца. Гэтую залежнасць можна растлумачыць з дапамогай вышэйзгаданай формулы асноўнай частаты:
\[ f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
З гэтай формулы відаць, што частата прама прапарцыйная квадратнаму кораню з напружання. Гэта азначае, што калі напружанне падвоіцца, частата павялічыцца ўдвая.
Кантох Перхітунган
Давайце разгледзім некалькі прыкладаў разлікаў, каб лепш зразумець сувязь паміж даўжынёй струны, масай, частатой і нацяжэннем.
Прыклад 1: Вызначэнне частаты струны
Дапусцім, у нас ёсць струна даўжынёй 1 метр, агульнай масай 0.01 кг і нацяжэннем 100 Н. Мы хочам вызначыць асноўную частату гэтай струны.
1. Вылічыце масу на адзінку даўжыні:
\[ \mu = \frac{м}{L} = \frac{0.01}{1} = 0.01 \, \text{кг/м} \]
2. Выкарыстайце асноўную формулу частаты:
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[ f_1 = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{100}{0.01}} \]
\[ f_1 = \frac{1}{2} \sqrt{10000} \]
\[f_1 = \frac{1}{2} \times 100 \]
\[f_1 = 50 \, \t{Гц} \]
Такім чынам, асноўная частата гэтай струны складае 50 Гц.
Прыклад 2: Вызначэнне неабходнага напружання
Дапусцім, мы хочам вызначыць нацяжэнне, неабходнае для струны даўжынёй 0.5 метра і агульнай масай 0.02 кг, каб атрымаць асноўную частату 440 Гц (стандартная частата ноты Ля).
1. Вылічыце масу на адзінку даўжыні:
\[ \mu = \frac{м}{L} = \frac{0.02}{0.5} = 0.04 \, \text{кг/м} \]
2. Выкарыстайце формулу фундаментальнай частаты і вызначце адносна \(T\):
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[440 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440 = \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440^2 = \frac{T}{0.04} \]
\[193600 = \frac{T}{0.04} \]
\[T = 193600 \times 0.04 \]
\[ Т = 7744 \, \text{N} \]
Такім чынам, напружанне, неабходнае для атрымання асноўнай частаты 440 Гц, складае 7744 Н.
Практычнае прымяненне
1. Музычныя інструменты
Струны выкарыстоўваюцца ў розных музычных інструментах, у тым ліку ў гітарах, скрыпках і фартэпіяна. Разуменне ўзаемасувязі паміж даўжынёй, масай, частатой і нацяжэннем струны мае важнае значэнне для правільнай налады інструмента і атрымання патрэбнага тону.
2. Тэхналогіі
Струны таксама выкарыстоўваюцца ў сучасных тэхналогіях, такіх як датчыкі і вымяральныя прылады. Напрыклад, тэнзаметр выкарыстоўвае змены нацяжэння струны для вымярэння дэфармацыі і напружання ў матэрыяле.
3. Даследаванні і адукацыя
У фізіцы і навуковых даследаваннях эксперыменты са струнамі выкарыстоўваюцца для вывучэння хваль і ваганняў. Гэта дапамагае студэнтам зразумець фундаментальныя паняцці фізікі хваль і акустыкі.
Выснова
Разуменне формул і суадносін паміж даўжынёй струны, масай, частатой і нацяжэннем мае вырашальнае значэнне ў многіх галінах, асабліва ў музыцы і тэхніцы. Выкарыстоўваючы фундаментальныя фізічныя формулы, мы можам разлічваць і прадказваць паводзіны струн у розных умовах, што дапамагае нам у шырокім дыяпазоне практычных ужыванняў, ад налады музычных інструментаў да дакладных вымярэнняў у сучасных тэхналогіях.
