Момант інерцыі

1. Момант інэрцыі часціцы

Разгледзім круцячую часціцу. На часціцу з масай m дзейнічае сіла F, таму яна круціцца вакол восі O. Часціца знаходзіцца на адлегласці r ад восі кручэння. Спачатку часціца знаходзіцца ў стане спакою (v = 0). Пасля руху пад дзеяннем сілы F часціцы рухаюцца з пэўнай хуткасцю, так што маюць тангенцыяльнае паскарэнне. Сувязь паміж сілай (F), масай (m) і тангенцыяльным паскарэннем часціц выражаецца ўраўненнем 3:

F = ma _tan (раўнанне 3)

Часціцы круцяцца так, што маюць вуглавое паскарэнне. Сувязь паміж тангенцыяльным паскарэннем і вуглавым паскарэннем выражаецца ўраўненнем 4:

a _tg = rα (раўнанне 4)

Падстаўце a ў раўнанне 3 на a ў раўнанне 4:

F = mr α

rF = ^mr²α

τ = (mr² ⁾ α (раўнанне 5)

r F — момант сілы, а mr ² — момант інэрцыі часціцы. Раўнанне 5 паказвае сувязь паміж момантам сілы, момантам інэрцыі і вуглавым паскарэннем часціц, якія круцяцца. Раўнанне 5 — гэта ўраўненне другога закона Ньютана для часціц, якія круцяцца.

Момант інэрцыі часціцы — гэта здабытак масы часціцы (м) на квадрат адлегласці паміж часціцамі адносна восі кручэння (r² ⁾.

I = mr² ⁽ раўнанне 6)

I = момант інэрцыі часціцы, m = маса часціцы, r = адлегласць паміж часціцай і воссю кручэння. Для вызначэння моманту інэрцыі часціцы выкарыстоўваецца раўнанне 6.

3.2 Прыклады задач пра момант інэрцыі часціцы

Прыклад задачы 1.

Часціцу масай 2 кг прывязалі да вяроўкі даўжынёй 0.5 метра, а затым павярнулі. Які момант інэрцыі часціц пры кручэнні?

Рашэнне:

Я = спадар ²

I = (2 кг) (0.5 м) ^²

I = 0.5 кг ^м²

Прыклад задачы 2.

Дзве часціцы, кожная з якіх мае масу 2 кг і 4 кг, злучаныя лёгкім дротам, даўжыня якога складае 2 метры. Масай дроту занядбайце. Вызначце момант інэрцыі дзвюх часціц, калі:

а) Вось кручэння размешчана паміж дзвюма часціцамі

Рашэнне:

I = m1 _/ ^r1 / ² ₊ m2/ _r2 / ₂

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 кг ^м²

б) Вось кручэння знаходзіцца на адлегласці 0.5 метра ад часціцы масай 2 кг

I = m1 _/ ^r1 / ² ₊ m2/ _r2 / ₂

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 кг ^м²

в) Вось кручэння знаходзіцца на адлегласці 0.5 метра ад часціцы масай 4 кг.

I = m1 _/ ^r1 / ² ₊ m2/ _r2 / ₂

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 кг ^м²

Зыходзячы з вынікаў прыведзеных вышэй разлікаў, момант інэрцыі моцна залежыць ад размяшчэння восі кручэння. Нягледзячы на ​​тое, што форма і памер аднолькавыя, бо размяшчэнне восі кручэння адрозніваецца, момант інэрцыі таксама адрозніваецца.

Часціцы паблізу восі кручэння маюць меншы момант інэрцыі, тады як часціцы, якія знаходзяцца далёка ад восі кручэння, маюць большы момант інэрцыі. Калі выказаць здагадку, што дзве часціцы вышэй з'яўляюцца цвёрдымі аб'ектамі, то кожная часціца знаходзіцца паблізу восі кручэння.

мае меншы момант інэрцыі, чым момант інэрцыі часціцы, якая знаходзіцца далей ад восі кручэння.

3.3 Момант інэрцыі аднароднага цвёрдага цела

Цвёрдыя аб'екты складаюцца з многіх часціц. Момант інэрцыі цвёрдага цела — гэта агульная колькасць момантаў інэрцыі кожнай часціцы, з якой складаецца аб'ект.

I = Σ ^mr²

I = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Каб вызначыць момант інэрцыі цвёрдага аб'екта, нам трэба ўлічваць яго кручэнне, бо размяшчэнне восі кручэння ўплывае на момант інэрцыі аб'екта. Момант інэрцыі (I) кожнай часціцы таксама залежыць ад масы (m) часціцы і квадрата адлегласці (r² ⁾ часціцы ад восі кручэння. Маса ўсіх часціц, якія складаюць аб'ект, — гэта маса аб'екта.

Праблема ў тым, што адлегласць кожнай часціцы ад восі кручэння змяняецца.

Разгледзьце па формуле памяншэнне моманту інэрцыі тонкага кольца з пальцамі R і масай M.

Калі вось кручэння размешчана ў цэнтры кольца, то ўсе часціцы тонкага кольца размешчаны адносна восі кручэння. Момант інэрцыі тонкага кольца роўны моманту інэрцыі ўсіх часціц:

I = Σ мр²

I = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Маса ўсіх часціц = маса тонкага кольца (M)

I = M (r1 _/ ² + r2 _/ ^{2 +} r3 _/ ² + ….. + _rn2 )

Кожная часціца тонкага кольца знаходзіцца на адлегласці r ад восі кручэння, так што r1 ₌ r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Раўнанне моманту інэрцыі тонкага кольца:

I = MR ²

I = момант інэрцыі тонкага кольца, M = маса тонкага кольца, R = радыус тонкага кольца.

Што рабіць, калі вось кручэння не знаходзіцца ў цэнтры кольца? Калі вось кручэння не знаходзіцца ў цэнтры кольца, формулу моманту інэрцыі тонкага кольца нельга атрымаць з дапамогай вышэйзгаданага метаду.

таму што адлегласць кожнай часціцы ад восі кручэння розная. Вывад формулы моманту інэрцыі для падобнай задачы ў гэтай тэме не абмяркоўваецца.

Формула моманту інэрцыі для некаторых цвёрдых аб'ектаў

3.4 Прыклад задачы пра момант інэрцыі аднароднага цвёрдага цела

Прыклад задачы 1:

Шток AB мае масу 3 кг пры павароце праз B,

Момант інэрцыі роўны 27 кг м² ^. Які момант інэрцыі, калі

павернуты праз C?

Рашэнне:

Рашэнне:

Формула моманту інэрцыі для аднароднага цвёрдага стрыжня (вось кручэння знаходзіцца ў цэнтры стрыжня):

I = 1/12 ^ML2

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Формула моманту інэрцыі аднароднага цвёрдага стрыжня (вось кручэння на краі стрыжня):

I = 1/3 ^ML2

I = 1/3 (324)

I = 108 кг ^м²