Вектары — гэта не звычайныя лікі, таму звычайнае множанне да іх нельга прымяніць непасрэдна. Мы павінны выкарыстоўваць множанне вектараў. Існуе два тыпы множання вектараў: множанне з кропкай і ўкрыжаванае множанне. Множанне з кропкай таксама называецца скалярным множаннем, таму што яно дае скалярную велічыню. Укрыжаванае множанне таксама называецца вектарным множаннем, таму што яно дае вектарную велічыню. Напрыклад, ёсць два вектары, а менавіта A Дэн BСкалярнае множанне вектараў A Дэн B заявіў з АБ КПаколькі на арэне выкарыстоўваецца кропкавая натацыя, гэта множанне называецца скалярны здабытак. Множанне вектараў A Дэн B заявіў з A х БТаму што ён выкарыстоўвае натацыю x, то такое множанне называецца перакрыжаваным множаннем.
Напрыклад, калі ўлічваць вектар A Дэн B як паказана на малюнку ніжэй. Скаляровы здабытак вектараў A Дэн B запісана як АБ (A пункт B).
Каб вызначыць скалярны здабытак вектараў A Дэн B (АБ), намаляваны вектар A і вектары Па yякі ўтварае вугал θ. Далей мы малюем праекцыю вектара B у напрамку вектара AГэтая праекцыя з'яўляецца кампанентай вектара B які паралельны вектару A, які мае такі ж памер, як B cos θ.
Такім чынам, мы вызначаем АБ як вялікі вектар A памножанае на кампаненты вектара B які паралельны AМатэматычна мы можам запісаць гэта наступным чынам:
AB cos θ — звычайны лік (скаляр). Таму скалярны здабытак таксама называецца скалярным здабыткам. Што, калі скалярны здабытак паміж вектарамі A Дэн B ператварыўся ў Б.А перш чым мы вызначым Б.А, спачатку мы малюем праекцыю вектара A да вектараў Б (гл. малюнак ніжэй).
Зыходзячы з гэтага малюнка, мы можам вызначыць Б.А як вялікі вектар B памножанае на кампаненты вектара A які паралельны BМатэматычна мы можам запісаць гэта наступным чынам:
Вынік скалярнага здабытку АБ = AB cos θ і вынік скалярнага здабытку Б.А = BA cos θ. Таму што AB cos θ = BA cos θ, тады гэта ўжываецца АБ = Б.А
Некаторыя рэчы пра множанне кропак, якія вам трэба ведаць:
1. Скаляровы здабытак задавальняе камутатыўны закон.
AB = BA
2. Скаляровы здабытак задавальняе размеркавальны закон.
А. (B + C) = AB + AC
3. Калі вектары A і B перпендыкулярныя адзін аднаму, то скалярны здабытак AB = 0
Калі вектар A Дэн B перпендыкулярныя адзін аднаму, то ўтвораны вугал роўны 90oКос 90o = 0. Такім чынам: АБ = AB cos тэта = AB cos 90o = 0. З іншага боку, Б.А = BA cos тэта = BA cos 90o = 0
4. Калі вектары A і B накіраваны ў адным кірунку , то AB = AB cos 0 o = AB
Калі вектар A Дэн B у тым жа кірунку, то ўтвораны вугал роўны 0oCos 0 = 1. Такім чынам, АБ = AB cos тэта = AB cos 0o = ABНаадварот Б.А = BA cos тэта = BA cos 0o = BA
(Не варта блытаць з AB Дэн BAВялікі AB = вялікі BAНапрыклад, велічыня вектара A = 2. велічыня вектара B = 3. тады АБ = 2.3 = 6; гэта тое ж самае, што Б.А = 3.2 = 6.
5. Яшчэ адна ўмова для двух вектараў у адным кірунку, калі A = B , то атрымліваем AA = A² або BB = B²
6. Калі вектары A і B накіраваны ў процілеглых напрамках (калі два вектары накіраваны ў процілеглых напрамках, вугал, які ўтвараецца, роўны 180º) , то вынік множання AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Кос 180º = -1.
Прыклад задачы:
Вектар А мае велічыню 4 адзінкі, а вектар В — 3 адзінкі. Вызначце скалярны здабытак двух вектараў, калі вуглы, утвораныя двума вектарамі, роўныя 60º, 90º і 180º.
Абмеркаванне
Паколькі AB = BA , мы можам выкарыстоўваць любы з іх. Напрыклад, мы выкарыстоўваем AB
AB = AB cos тэта
Памер A = 4 адзінкі, а памер B = 3 адзінкі.
