Матэрыял па множанні кропак з выкарыстаннем кампанент адзінкавага вектара
Мы можам вылічыць скалярны здабытак непасрэдна, калі ведаем кампаненты x, y і z вектараў A і B (вядомыя вектары).
Каб вылічыць скалярны здабытак такім чынам, спачатку вылічваем скалярны здабытак адзінкавых вектараў, пасля чаго выразім вектары A і B праз іх кампаненты, раскладзем здабытак і выкарыстаем здабытак адзінкавых вектараў.
Адзінкавыя вектары i , j і k перпендыкулярныя адзін аднаму, што спрашчае разлікі. Выкарыстоўваючы атрыманае вышэй ураўненне скалярнага множання ( AB = AB cos theta ), атрымліваем:
i. i = j.j = k.k = (1)(1)cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Цяпер выразім вектары A і B праз іх кампаненты, раскладзем іх здабытак і выкарыстаем здабытак адзінкавых вектараў.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Таму што i . i = j . j = k . k = 1 і i . j = i . k = j . k = 0, тады:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
А. В = А х В х (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Зыходзячы з вынікаў гэтага разліку, можна зрабіць выснову, што скалярны здабытак або скалярны здабытак двух вектараў — гэта сума здабыткаў іх падобных кампанент.
Прыклад пытання 1:
Вялікі вектар A Дэн B адпаведна роўныя 5 і 4, як паказана на малюнку ніжэй. Утвораны вугал роўны 90oПалічыце гэта скалярны здабытак абодва вектары.
Абмеркаванне
Перш чым вылічыць скалярны здабытак вектараў A і B, нам спачатку трэба ведаць кампаненты другога вектара.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Вектар A мае толькі вектарныя кампаненты на восі x, а вектар B — толькі на восі y. Кампанента z роўная нулю, таму што вектары A і B знаходзяцца ў плоскасці xy.
Цяпер вылічваем скалярны здабытак паміж вектарамі A і B, выкарыстоўваючы ўраўненне скалярнага здабытку з кампанентнымі вектарамі:
А. В = Аx Bx + AyBy + AzBz
А. В = (5) (0) + (0) (4) + 0
А. Б = 0 + 0 + 0
А. В = 0
Давайце параўнаем гэта з першым метадам
AB = AB cos тэта
AB = (4)(5) cos 90
АВ = (4) (5) (0)
АВ = 0
Вынік той самы.
Прыклад пытання 2:
Вялікі вектар A Дэн B адпаведна роўныя 5 і 4, як паказана на малюнку ніжэй. Вылічыце скалярны здабытак абодва вектары, калі вугал, які яны ўтвараюць, роўны 30o
Абмеркаванне
Перш чым вылічыць скалярны здабытак вектараў A і B, нам спачатку трэба ведаць кампаненты другога вектара.
Кампанента z роўная нулю, таму што вектары A і B знаходзяцца ў плоскасці xy.
Цяпер вылічваем скалярны здабытак паміж вектарамі A і B, выкарыстоўваючы ўраўненне скалярнага здабытку з кампанентнымі вектарамі:
Параўнайце з першым спосабам.
