Прыклад задач, якія абмяркоўваюць вектары становішча
Вектары — гэта фундаментальнае паняцце ў матэматыцы і фізіцы, якое прадстаўляе велічыні, якія маюць як кірунак, так і велічыню. У розных прыкладаннях вектары часта выкарыстоўваюцца для апісання становішча, хуткасці, сілы і многіх іншых параметраў. Сярод розных тыпаў вектараў вектары становішча адыгрываюць вырашальную ролю ў адлюстраванні месцазнаходжання кропкі ў прасторы.
Вызначэнне вектара пазіцыі
Вектар становішча — гэта вектар, які апісвае месцазнаходжанне пункта адносна пачатку каардынат у сістэме каардынат. Звычайна вектар становішча запісваецца ў дэкартавай форме каардынат як:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Тут \(\mathbf{r}\) — вектар становішча, \(x\), \(y\) і \(z\) — яго кампаненты ўздоўж восяў \(x\), \(y\) і \(z\) адпаведна, а \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) і \(\mathbf{k}\) — адзінкавыя вектары, паралельныя восям каардынат адпаведна. У двухмернай прасторы кампанента \(z\) звычайна не існуе, таму вектар становішча прымае выгляд:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Прыкладанні вектара пазіцыі
Напрыклад, у фізіцы вектары становішча адыгрываюць вырашальную ролю ў апісанні руху аб'ектаў. Палажэнне аб'екта адносна пачатку каардынат (пункта адліку) можа быць прадстаўлена вектарам становішча. Акрамя таго, у машынабудаванні разлікі сіл і момантаў часта ўключаюць выкарыстанне вектараў становішча.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне вектараў пазіцый
Пытанне 1
Дапусцім, што ў трохмернай прасторы ёсць дзве кропкі: кропка А з каардынатамі (1, 2, 3) і кропка В з каардынатамі (4, 0, -2)). Вызначце вектары становішча кропак А і В. Акрамя таго, вылічыце вектар, які злучае кропку А з кропкай В.
Абмеркаванне:
Вектар становішча для пункта А:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Вектар становішча для пункта B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Далей, каб знайсці вектар, які злучае пункт А з пунктам В (які называецца \(\mathbf{AB}\)), нам трэба адняць вектар становішча пункта А ад вектара становішча пункта В:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Такім чынам, падстаўляючы два вектары становішча вышэй:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Такім чынам, вектар, які злучае пункты A і B, мае выгляд (3i – 2j – 5k).
Пытанне 2
Калі пункт P знаходзіцца на \(2, 3)\) у двухмернай плоскасці, знайдзіце даўжыню (норму) вектара становішча \(\mathbf{r_P}\).
Абмеркаванне:
Вектар становішча пункта P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Даўжыню вектара становішча \(\mathbf{r_P}\) можна вылічыць з дапамогай формулы вектарнай нормы (ці даўжыні):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Падстаўце значэнні \(x\) і \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Такім чынам, даўжыня вектара становішча \(\mathbf{r_P}\) роўная \(\sqrt{13}\).
Пытанне 3
Дапусцім, што пункт Q ляжыць у пункце (5, -4, 2). Знайдзіце вугал паміж вектарам становішча (r_Q) і воссю x.
Абмеркаванне:
Вектар становішча пункта Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Каб знайсці вугал паміж вектарам \(\mathbf{r_Q}\) і воссю \(x\), можна выкарыстаць паняцце скалярнага здабытку. Спачатку вызначаем скалярны здабытак паміж \(\mathbf{r_Q}\) і \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Паколькі \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\) і \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), то:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Норма \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
Норма \(\mathbf{i}\) роўная 1, таму што \(\mathbf{i}\) — адзінкавы вектар.
Выкарыстоўваючы формулу скалярнага здабытку для знаходжання вугла \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\тэта\]
\[5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Такім чынам, вугал \(θ\) паміж вектарам становішча \(\mathbf{r_Q}\) і воссю \(x\) роўны:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Выснова
Вектары становішча адыгрываюць вырашальную ролю ў навуцы і тэхніцы, асабліва ў адлюстраванні становішча аб'ектаў у каардынатнай прасторы. Прыведзеныя вышэй прыклады дэманструюць, як вылічыць вектары становішча, іх даўжыні і вуглы паміж імі і восямі каардынат. Разуменне гэтых фундаментальных паняццяў мае неацэннае значэнне пры вырашэнні розных задач, звязаных з прасторай і каардынатамі ў матэматыцы і фізіцы.
