Прыклад задач, якія абмяркоўваюць адваротныя вектары
Вектар — гэта матэматычны аб'ект, які мае як велічыню, так і кірунак. Пры вывучэнні вектараў мы часта сутыкаемся з вектарамі з пэўнымі ўласцівасцямі. Адным з фундаментальных паняццяў вектараў з'яўляецца адваротны вектар, або адмоўны вектар. У гэтым артыкуле будуць разгледжаны прыклады і абмеркаванне адваротных вектараў.
Разуменне адваротных вектараў
Адваротны вектар, які часта называюць адмоўным вектарам, — гэта вектар, які мае такую ж велічыню, але процілеглы кірунак, як і зыходны вектар. Калі вектар пазначаецца як \(\vec{a}\), то яго адваротны вектар будзе \(-\vec{a}\). Матэматычна, калі \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), то \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
Прыклад пытання 1
Дадзены вектар \(\vec{a} = (3, 4, -2)\). Вызначце адваротны вектар \(\vec{a}\).
Абмеркаванне:
Каб вызначыць адваротны вектар \(\vec{a}\), нам проста трэба змяніць кожны з яго кампанентаў на адмоўныя:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Такім чынам, адваротны вектар \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) роўны \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\).
Прыклад пытання 2
Няхай вектар \(\vec{b} = (7, -5, 0)\). Знайдзіце адваротны вектар \(\vec{b}\) і пераканайцеся, што \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\).
Абмеркаванне:
Спачатку мы вызначаем адваротны вектар \(\vec{b}\):
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Далей мы правяраем, што складанне вектара \(\vec{b}\) і яго адваротнага вектара прыводзіць да нулявога вектара:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Складаецца складнікі вектара:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Такім чынам, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), даказана, што вынікам складання вектара \(\vec{b}\) і яго адваротнага вектара з'яўляецца нулявы вектар.
Прыклад пытання 3
Улічваючы вектары \(\vec{u} = (2, -1)\) і \(\vec{v} = (-2, 1)\). Ці з'яўляецца \(\vec{u}\) адваротным вектарам \(\vec{v}\)?
Абмеркаванне:
Каб вызначыць, ці з'яўляюцца \(\vec{u}\) і \(\vec{v}\) адваротнымі вектарамі, нам трэба праверыць, ці \(\vec{v} = -\vec{u}\).
Вылічыце \(-\vec{u}\):
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Аказваецца, што \(-\vec{u} = \vec{v}\), гэта азначае, што вектар \(\vec{u}\) сапраўды з'яўляецца адваротным вектарам вектара \(\vec{v}\).
Прыклад пытання 4
Калі вядома, што вектар (w) мае велічыню 5 і кірунак, процілеглы вектару (p = (4, 3)), вызначце w у выглядзе кампанент.
Абмеркаванне:
Спачатку знойдзем велічыню вектара \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
Паколькі \(\vec{w}\) мае такую ж велічыню, як \(\vec{p}\), але процілеглы кірунак, то:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Такім чынам, вектар \(\vec{w}\) у кампанентнай форме мае выгляд \(\vec{w} = (-4, -3)\).
Прыклад пытання 5
Дадзены пункт A(2, 3) і пункт B(4, 7). Вызначце вектар становішча з пункта A ў пункт B і вектар, які з'яўляецца супрацьлеглым гэтаму вектару.
Абмеркаванне:
Вектар становішча з пункта А ў пункт Б:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
Адваротны вектар \(\vec{AB}\):
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Такім чынам, вектар, адваротны вектару становішча \(\vec{AB} = (2, 4)\), роўны \(-\vec{AB} = (-2, -4)\).
Прыклад пытання 6
Дадзены вектар \(\vec{m} = (x, y)\), а адваротны вектар \(\vec{m}\) роўны \(-5, 12)\). Вызначце значэнні x і y.
Абмеркаванне:
Адваротны вектар \(\vec{m}\) роўны \( (-x, -y) \), і, згодна з задачай, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
Супастаўляючы кампаненты вектара, атрымліваем:
\[
-x = -5 \мае на ўвазе x = 5
\]
\[
-y = 12 \мае на ўвазе, што y = -12
\]
Такім чынам, значэнне \(x\) роўна 5, а значэнне \(y\) — -12.
Выснова
Зваротныя вектары — гэта вектары аднолькавай велічыні, але з процілеглым напрамкам. Разумеючы канцэпцыю адваротных вектараў, мы можам вырашаць розныя задачы, звязаныя з вектарамі, такія як вызначэнне адмоўнага значэння вектара, праверка складання вектараў да нуля і гэтак далей. Абмеркаванне прыведзеных вышэй прыкладаў задач павінна пашырыць нашы веды і разуменне працы з адваротнымі вектарамі.
