Прыклады пытанняў і абмеркаванне па трыганаметрыі
Трыганаметрыя — гэта раздзел матэматыкі, які вывучае сувязь паміж вугламі і даўжынямі бакоў у трыкутніках. Разуменне асноўных паняццяў трыганаметрыі мае вырашальнае значэнне ў розных сферах прымянення, ад фізікі і тэхнікі да астраноміі і геаграфіі. У гэтым артыкуле мы разгледзім некалькі прыкладаў задач і дамо поўныя тлумачэнні для палягчэння разумення.
Прыклад пытання 1: Вылічэнне бакоў трыкутніка з дапамогай метаду сінуса
Пытанне:
Дадзены трохвугольнік ABC з вуглом A = 30°, вуглом B = 45° і стараной b = 10 см. Вылічыце даўжыню стараны a.
Абмеркаванне:
Выкарыстайце тэарэму сінусаў:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Увядзіце вядомыя значэнні:
\[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Мы ведаем, што:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Цяпер падстаўляем гэтыя значэнні ў раўнанне:
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Спрасціце ўраўненне:
\[2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Рацыяналізуйце назоўнік:
\[2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[2a = 10\sqrt{2} \]
\[a = 5\sqrt{2} \]
Такім чынам, даўжыня боку a роўная \( 5\sqrt{2} \) см.
Прыклад пытання 2: Вылічэнне вуглоў з дапамогай метаду косінусаў
Пытанне:
Трыкутнік мае бакі a = 7 см, b = 10 см і c = 5 см. Вызначце велічыню вугла C.
Абмеркаванне:
Выкарыстайце тэарэму косінусаў:
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
Увядзіце вядомыя значэнні:
\[5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \]
Спрасціце ўраўненне:
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \cos C \]
\[ 25 = 149 – 140 \cos C \]
Перамясціць 149 у левы бок:
\[ 25 – 149 = -140 \cos C \]
\[-124 = -140 \cos C \]
\cos C = \frac{124}{140} \]
\cos C = \frac{62}{70} \]
\cos C = \frac{31}{35} \]
Выкарыстайце калькулятар, каб знайсці \( \cos^{-1} \) (арккосінус):
\[ C \прыблізна \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[°C \прыблізна 25.84° \]
Такім чынам, памер вугла C складае каля 25.84°.
Прыклад пытання 3: Вылічэнне вышыні і плошчы трохвугольніка
Пытанне:
Трыкутнік мае дзве бакі даўжынёй a = 6 см і b = 8 см з вуглом паміж імі \(\theta\) = 60°. Вылічыце вышыню і плошчу трыкутніка.
Абмеркаванне:
1. Вылічэнне плошчы трохвугольніка:
Выкарыстайце формулу для плошчы трыкутніка:
\[ \text{Плошча} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Увядзіце вядомыя значэнні:
\[ \text{Плошча} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]
Мы ведаем, што:
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Такім чынам:
\[ \text{Плошча} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Плошча} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Плошча} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Плошча} = 12\sqrt{3} \]
Такім чынам, плошча трохвугольніка роўная \(12\sqrt{3} \) см².
2. Вылічэнне вышыні трохвугольніка па аснове a:
Каб вылічыць вышыню трохвугольніка, абазначым вышыню як h і выкарыстаем формулу плошчы:
\[ \text{Плошча} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = 3h \]
\[ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \]
Такім чынам, вышыня трохвугольніка роўная \(4\sqrt{3} \) см.
Прыклад пытання 4: Вызначэнне бакоў прамавугольнага трыкутніка
Пытанне:
У прамавугольным трыкутніку з вуглом \(θ) = 30° і паралельнай стараной вугла \(θ) роўнай 5 см вызначце даўжыню гіпатэнузы.
Абмеркаванне:
Выкарыстайце трыганаметрычныя суадносіны для вугла 30° у прамавугольным трыкутніку:
\[ \sin \theta = \frac{\text{фронт}}{\text{гіпатэнуза}} \]
\[ \sin 30° = \frac{аверс}{гіпатэнуза} = \frac{5}{\text{гіпатэнуза}} \]
Мы ведаем, што:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
Такім чынам:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{гіпатэнуза}} \]
\[ \text{гіпатэнуза} = 10 \]
Такім чынам, даўжыня гіпатэнузы роўная 10 см.
Прыклад пытання 5: Вылічэнне вуглоў з дапамогай трыганаметрычных функцый
Пытанне:
Калі \( \tan \theta = \frac{3}{4} \), вылічыце памер вугла \(\theta\).
Абмеркаванне:
Выкарыстоўваючы формулу адваротнага тангенса:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4} \right) \]
З дапамогай калькулятара:
\[ \theta \прыблізна 36.87° \]
Такім чынам, памер вугла \(\theta\) складае каля 36.87°.
Выснова
Трыганаметрыя — гэта шырокае матэматычнае паняцце з шырокім ужываннем у розных галінах. Разуменне таго, як выкарыстоўваць тэорыі сінусаў, косінусаў і іншых асноўных функцый, дазваляе нам вырашаць розныя задачы, звязаныя з трыкутнікамі і вугламі. Спадзяемся, што прыведзеныя вышэй прыклады дапамогуць чытачам глыбей зразумець гэтае пытанне і змогуць прымяняць яго ў розных сітуацыях, якія патрабуюць разумення трыганаметрыі.
