Прыклады пытанняў па трыганаметрычных суадносінах
Трыганаметрыя — гэта раздзел матэматыкі, які вывучае сувязі паміж бакамі і вугламі трыкутніка. Адным з важных аспектаў трыганаметрыі з'яўляецца разуменне трыганаметрычных суадносін, у тым ліку сінуса (sin), косінуса (cos) і тангенса (tan). У гэтым артыкуле будуць разгледжаны некалькі прыкладаў трыганаметрычных суадносін і іх падрабязныя тлумачэнні, каб палегчыць глыбокае разуменне асноўных трыганаметрычных паняццяў.
Прыклад пытання 1: Вылічэнне значэнняў Sin, Cos і Tan
Пытанне:
Вучню прапануецца знайсці значэнні sin, cos і tan вугла (θ) у прамавугольным трыкутніку, калі даўжыня процілеглага катэта (процілеглага вугла (θ)) роўная 3 см, даўжыня прылеглага катэта (асновы) — 4 см, а даўжыня гіпатэнузы (гіпатэнузы) — 5 см.
Абмеркаванне:
Першы крок — вызначыць кожную старану, якая адпавядае зададзенаму вуглу. Як вядома, у прамавугольным трыкутніку са старанамі класічнай тройкі Піфагора (3, 4, 5) мы можам непасрэдна выкарыстоўваць асноўныя трыганаметрычныя формулы.
– Сінус (sin) — гэта суадносіны даўжыні процілеглага катэта да гіпатэнузы.
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{абарот}}{\text{гіпатэнуза}} = \frac{3}{5}
\]
– Косінус (cos) — гэта суадносіны даўжыні прылеглага катэта да гіпатэнузы.
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{сумежны катэтар}}{\text{гіпатэнуза}} = \frac{4}{5}
\]
– Тангенс (tg) — гэта суадносіны паміж даўжынёй пярэдняга боку і даўжынёй бакавога боку.
\[
\tg(\theta) = \frac{\text{пярэдні бок}}{\text{бакавы бок}} = \frac{3}{4}
\]
Такім чынам, значэнні трыганаметрычных суадносін для вугла \(\theta\) складаюць:
\[
\sin(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{3}{4}
\]
Прыклад пытання 2: Знаходжанне бакоў трыкутніка з дапамогай трыганаметрычных суадносін
Пытанне:
Дадзены прамавугольны трохвугольнік з вуглом \( \alpha = 30^\circ \). Калі даўжыня процілеглага боку вугла \( \alpha \) роўная 4 см, вызначце даўжыню другога боку.
Абмеркаванне:
Выкарыстоўваючы значэнні трыганаметрычных суадносін для вугла \( 30^\circ \):
– (sin(30 цыркуляраў) = 1/2)
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{пярэдні бок}}{\text{гіпатэнуза}} = \frac{4}{\text{гіпатэнуза}}
\]
\[
Гіпатэнуза = 4/sin(30°) = 4/1/2 = 8 см
\]
– (cos(30) = 3/2)
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{сумежны катэтар}}{\text{гіпатэнуза}} = \frac{\text{сумежны катэтар}}{8}
\]
\[
\text{Бакавая частка} = 8 \cos(30^\circ) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}
\]
Такім чынам, даўжыня другога боку роўная \(4\sqrt{3}\) см, а гіпатэнуза — 8 см.
Прыклад 3: Выкарыстанне трыганаметрыі ў дэкартавых каардынатах
Пытанне:
Вызначце значэнні sin, cos і tan для пункта (P(3, 4)) у дэкартавых каардынатах, калі пункт утварае вугал (θ) з дадатнай воссю x у квадранце I.
Абмеркаванне:
Спачатку вылічыце адлегласць кропкі \(P(3, 4)\) ад пачатку каардынат (O), якая з'яўляецца гіпатэнузай утворанага трыкутніка.
– Гіпатэнузу (\(r\)) можна вылічыць з дапамогай тэарэмы Піфагора:
\[
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Тады трыганаметрыю пункта P можна вылічыць наступным чынам:
– Сінус (sin) — гэта суадносіны паміж ардынатай (y) і гіпатэнузай (r):
\[
\sin(\theta) = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}
\]
– Косінус (cos) — гэта суадносіны паміж абсцысай (x) і гіпатэнузай (r):
\[
cos(θ) = x/r = 3/5
\]
– Тангенс (tg) — гэта суадносіны паміж ардынатай (y) і абсцысай (x):
\[
\tg(θ) = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}
\]
Такім чынам, трыганаметрычныя значэнні для пункта P:
\[
\sin(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{4}{3}
\]
Прыклад пытання 4: Выкарыстанне трыганаметрычных тоеснасцей
Пытанне:
Калі \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \), знайдзіце значэнне \( \cos(\theta) \), выкарыстоўваючы трыганаметрычную тоеснасць \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \).
Абмеркаванне:
Пачнем з асноўнай трыганаметрычнай тоеснасці:
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
Улічваючы \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \), тады:
\[
\sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
\]
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1
\]
\[
\cos^2(\theta) = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos(\theta) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]
Значэнне \( \cos(\theta) \) можа быць дадатным або адмоўным у залежнасці ад квадранта, у якім знаходзіцца вугал \(\theta\). Але для гэтай задачы без відавочнага вызначэння квадранта мы выкарыстоўваем \(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\) для квадранта I або \( -\frac{4}{5}\) для квадрантаў II, III або IV.
Выснова
Разуменне трыганаметрычных суадносін мае вырашальнае значэнне для рашэння розных задач, звязаных з вугламі і даўжынямі ў трыкутніках. Практыкуючыся ў вырашэнні задач, падобных да прыведзенай вышэй, вы можаце палепшыць сваю здольнасць вылічваць і разумець сувязі паміж бакамі і вугламі ў трыкутніках. Трыганаметрыя ўжываецца не толькі ў чыстай матэматыцы, але і ў розных галінах навукі, такіх як фізіка, інжынерыя і астраномія. Прыемнай практыкі!
