Прыклад задачы, якая абмяркоўвае рэзананс ланцуга
Рэзананс — гэта з'ява, пры якой сістэма вагаецца з максімальнай амплітудай на пэўнай частаце. У кантэксце электрычных ланцугоў рэзананс узнікае, калі імпеданс ланцуга дасягае мінімальнага або максімальнага значэння, што прыводзіць да пікавага значэння току або напружання ў ланцугу. Гэтая з'ява вельмі важная пры праектаванні і аналізе электрычных ланцугоў, асабліва ў такіх прыладах, як радыёпрыёмнікі, фільтры і генератары.
Асноўныя прынцыпы рэзанансу ў электрычных ланцугах
Рэзананс у электрычных ланцугах звычайна абмяркоўваецца ў кантэксце RLC-ланцуга, які складаецца з рэзістара (R), індуктыўнасці (L) і кандэнсатара (C). Звычайна абмяркоўваюцца два тыпы рэзанансу:
1. Паслядоўны рэзананс: узнікае, калі індуктыўнасць і кандэнсатар злучаны паслядоўна з рэзістарам. Рэзананс узнікае, калі індуктыўнае супраціўленне (XL) роўнае ёмістнаму рэактыўнаму супраціўленню (XC).
2. Паралельны рэзананс: узнікае, калі індуктыўнасць і кандэнсатар злучаныя паралельна. Рэзананс узнікае, калі імпеданс ланцуга на пэўнай частаце дасягае свайго максімальнага значэння.
Рэзанансная частата (\( f_0 \)) для абодвух тыпаў ланцугоў аднолькавая і задаецца па формуле:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Прыклады пытанняў і абмеркаванне рэзанансу серыйных ланцугоў RLC
Пытанне 1:
Дадзены паслядоўны RLC-ланцуг з рэзістарам (R) 10 Ом, індуктыўнасцю (L) 10 мГн і кандэнсатарам (C) 1 мкФ. Вызначце:
1. Рэзанансная частата контуру.
2. Імпеданс ланцуга на рэзананснай частаце.
3. Ток, які працякае ў ланцугу, калі напружанне крыніцы складае 10 В rms на рэзананснай частаце.
Абмеркаванне:
1. Рэзанансная частата контуру:
Рэзанансная частата (\( f_0 \)) у паслядоўным RLC-ланцугу задаецца па формуле:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Дзе:
– L = 10 mH = 10 x 10⁻³ H
– C = 1 мкФ = 1 x 10⁻⁶ Ф
Такім чынам:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(10 \times 10^{-3})(1 \times 10^{-6})}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
\[f_0 = \frac{10^4}{2\pi} \]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Гц} \]
2. Імпеданс ланцуга на рэзананснай частаце:
На рэзананснай частаце індуктыўнае рэактыўнае супраціўленне (XL) роўнае ёмістнаму рэактыўнаму супраціўленню (XC), таму:
\[X_L = X_C \]
\[ 2\π f_0 L = \frac{1}{2\π f_0 C} \]
Паколькі індуктыўнае і ёмістнае супраціўленне кампенсуюць узаемна адно аднаго, імпеданс ланцуга роўны толькі рэзістару (R):
\[ Z = R = 10 \text{ Ом} \]
3. Сіла току, якая працякае ў ланцугу:
Сіла току (\( I \)) у ланцугу можа быць вылічана з дапамогай закона Ома:
\[ I = \frac{V}{Z} \]
Дзе:
– V = 10 В rms
– Z = 10 Ом (на рэзананснай частаце)
Такім чынам:
\[ I = \frac{10}{10} \]
\[ I = 1 \text{ A} \]
Такім чынам, сіла току ў ланцугу роўная 1 А.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне рэзанансу паралельных RLC-ланцугоў
Пытанне 2:
Дадзены паралельны RLC-ланцуг з рэзістарам (R) 10 Ом, індуктыўнасцю (L) 5 мГн і кандэнсатарам (C) 2 мкФ. Вызначце:
1. Рэзанансная частата контуру.
2. Імпеданс ланцуга на рэзананснай частаце.
3. Вызначце напружанне крыніцы, калі агульны ток, які працякае ў ланцугу, складае 2 А на рэзананснай частаце.
Абмеркаванне:
1. Рэзанансная частата контуру:
Рэзанансная частата (\( f_0 \)) у паралельным RLC-ланцугу таксама задаецца па формуле:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Дзе:
– L = 5 mH = 5 x 10⁻³ H
– C = 2 мкФ = 2 x 10⁻⁶ Ф
Такім чынам:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(5 \times 10^{-3})(2 \times 10^{-6})}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
\[f_0 = \frac{10^4}{2\pi} \]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Гц} \]
2. Імпеданс ланцуга на рэзананснай частаце:
На рэзананснай частаце агульны адмітанс (Y) індуктыўнасці і кандэнсатара роўны нулю. Такім чынам, імпеданс (Z) паралельнага RLC-ланцуга залежыць толькі ад рэзістара (R). Такім чынам, на рэзананснай частаце імпеданс паралельнага RLC-ланцуга роўны рэзістару.
Такім чынам:
\[R = 10 \text{ Ом} \]
3. Напружанне крыніцы:
Агульны ток (\( I \)), які працякае па ланцугу, складае 2 А. З закона Ома вынікае, што напружанне крыніцы (V) вызначаецца па формуле:
\[ V = I \ памножана на Z \]
Дзе:
– I = 2 А
– Z = 10 Ом
Такім чынам:
\[V = 2 \times 10 \]
\[ V = 20 \text{ V} \]
Такім чынам, напружанне крыніцы складае 20 В.
Выснова
Рэзананс у электрычных ланцугах — гэта ключавая з'ява, якую можна выкарыстоўваць у розных электратэхнічных і электронных інжынерных прыкладаннях. Разуменне таго, як разлічыць рэзанансную частату і яе ўплыў на ток і напружанне, мае фундаментальнае значэнне для праектавання і аналізу схем. У гэтым артыкуле прадстаўлены асноўныя паняцці рэзанансу ў RLC-ланцугах і абмяркоўваюцца звязаныя з ім праблемы, каб даць выразнае ўяўленне аб гэтай тэме.
