Прыклады пытанняў і абмеркаванне інтэгральных прыкладанняў
Інтэграванне — гэта фундаментальнае паняцце ў вылічэнні, якое мае шматлікія прымяненні ў розных галінах навукі, такіх як фізіка, эканоміка, біялогія і інжынерыя. Інтэгралы выкарыстоўваюцца для вылічэння плошчы пад крывой, аб'ёму цвёрдага цела, працы, ціску і іншага. У гэтым артыкуле мы абмяркуем некалькі прыкладаў прымянення інтэгралаў, а затым падрабязна растлумачым, як іх вырашаць.
1. Вызначэнне плошчы пад крывой
Адно з найбольш распаўсюджаных ужыванняў інтэгралаў — вылічэнне плошчы пад крывой функцыі на зададзеным інтэрвале. Дапусцім, мы хочам знайсці плошчу вобласці, абмежаванай крывой (y = x^2) і воссю x ад x = 0 да x = 2.
Прыклад задачы:
Вызначце плошчу пад крывой \(y = x^2\) ад \(x = 0\) да \(x = 2\).
Абмеркаванне:
Каб знайсці плошчу пад крывой \(y = x^2\) ад \(x = 0\) да \(x = 2\), нам трэба вылічыць пэўны інтэграл функцыі:
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Крок 1: Вызначце інтэграл ад \(x^2\).
Звярніце ўвагу, што інтэграл ад \(x^2\) роўны:
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Крок 2: Ужываем інтэгральную граніцу \(0\) да \(2\).
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
Крок 3: Разлічыце лімітавае значэнне.
\[ \злева. \frac{x^3}{3} \справа|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Такім чынам, плошча пад крывой \(y = x^2\) ад \(x = 0\) да \(x = 2\) роўная \( \frac{8}{3} \) адзінак плошчы.
2. Вылічэнне аб'ёму круцячыхся аб'ектаў
Інтэгралы таксама выкарыстоўваюцца для вылічэння аб'ёму цвёрдых целаў кручэння. Калі вобласць паварочваецца вакол восі \(x\), аб'ём аб'екта можна знайсці з дапамогай метаду дыска або метаду кольца.
Прыклад задачы:
Вылічыце аб'ём аб'екта, які ўтвараецца пры павароце вакол восі x.
Абмеркаванне:
Каб знайсці аб'ём цвёрдага цела кручэння, можна выкарыстаць метад дыска. Аб'ём \(V\) атрыманага цвёрдага цела можна выразіць як:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
Дзе (f(x) = \sqrt{x}), (a = 0) і (b = 4).
Крок 1: Сфармуйце інтэграл аб'ёму.
V = π₀ (x)², dx
Крок 2: Спрасціце функцыю ў інтэграле.
V = π₀₀₀ x, dx]
Крок 3: Вызначце інтэграл ад \(x\).
\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
Крок 4: Ужывайце абмежаванні ад \(0\) да \(4\).
\[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]
Крок 5: Разлічыце лімітавае значэнне.
\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
Такім чынам, аб'ём атрыманага аб'екта складае \(8\пі\) адзінак аб'ёму.
3. Вылічэнне працы, выкананай зменнай сілай
Інтэгральныя прымяненні таксама сустракаюцца ў фізіцы, адным з якіх з'яўляецца вылічэнне працы, выкананай зменнай сілай пры руху аб'екта з адной кропкі ў іншую.
Прыклад задачы:
Сіла \(F(x) = 3x^2\) Ньютана дзейнічае на часціцу, якая рухаецца з адлегласці \(x = 1\) метра на \(x = 3\) метра. Вылічыце працу, выкананую сілай.
Абмеркаванне:
Работу (W), выкананую сілай (F(x)), можна знайсці, вылічыўшы інтэграл ад (F(x)) па перамяшчэнні ад (a) да (b):
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Дзе (a = 1), (b = 3) і (F(x) = 3x^2).
Крок 1: Складзіце інтэграл твора.
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
Крок 2: Вызначце інтэграл ад \(3x^2\).
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
Крок 3: Ужывайце абмежаванні ад \(1\) да \(3\).
\[ W = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \]
Крок 4: Разлічыце лімітавае значэнне.
\[ W = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Такім чынам, праца, выкананая сілай, складае \(26\) джоўляў.
4. Вызначэнне гідрастатычнага ціску
У фізіцы інтэгралы таксама выкарыстоўваюцца для вылічэння гідрастатычнага ціску на паверхні, пагружанай у вадкасць.
Прыклад задачы:
Вертыкальная пліта вышынёй 6 метраў і шырынёй 4 метры пагружаная ў ваду так, каб яе верх быў над паверхняй вады. Вылічыце поўную сілу ціску вады на пліту.
Абмеркаванне:
Ціск на глыбіні (h) у вадзе вызначаецца як (P = ρ gh), дзе (ρ) — шчыльнасць вады (каля 1000 кг/м³), а (g) — паскарэнне свабоднага падзення (каля 9.8 м/с²).
Каб атрымаць поўную сілу ціску, трэба інтэграваць ціск па вертыкальнай плошчы пласціны.
Крок 1: Вызначце функцыю ціску.
\[ P(y) = \rho gy \]
Крок 2: Поўная сіла (F) — гэта інтэграл ад ціску, памножанага на элементарную плошчу (dA), ад y = 0 да y = 6.
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
Крок 3: Спрасціце канстанты.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
Крок 4: Вызначце інтэграл ад \(y\).
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
Крок 5: Ужывайце абмежаванні ад \(0\) да \(6\).
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6} \]
Крок 6: Разлічыце лімітавае значэнне.
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{6^2}{2} = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot 18 = 705600 \]
Такім чынам, агульная сіла ціску вады на пласціну складае \(705600\) ньютанаў.
Выснова
Выкарыстанне інтэгралаў у розных праграмах забяспечвае велізарную аналітычную магутнасць для вылічэння складаных фізічных велічынь. У гэтым артыкуле мы абмеркавалі, як інтэгралы ўжываюцца для вылічэння плошчы пад крывой, аб'ёму цвёрдага цела кручэння, працы, выкананай зменнай сілай, і гідрастатычнага ціску. Добра разумеючы метады інтэгравання, мы можам вырашаць розныя практычныя праблемы, якія ўзнікаюць у навуцы і тэхніцы.
