Прыклады пытанняў па абмеркаванні акружнасцей і датычных
Кругі — важная тэма ў матрычнай геаметрыі, дзе дэманструюцца глыбокія паняцці пра адлегласці, вуглы і формы. Адно з паняццяў, якое часта абмяркоўваецца ў гэтай тэме, — гэта датычная да круга. У гэтым артыкуле мы абмяркуем некалькі прыкладаў задач, звязаных з кругамі і датычнымі.
Асноўнае разуменне акружнасцей і датычных
Круг
Акружнасць — гэта геаметрычная фігура, утвораная мноствам усіх кропак плоскасці, якія знаходзяцца на фіксаванай адлегласці ад дадзенай кропкі, якая называецца цэнтрам акружнасці. Гэтая фіксаваная адлегласць называецца радыусам акружнасці.
Тангенс
Датычная да акружнасці — гэта прамая, якая датыкаецца акружнасці роўна ў адным пункце. Гэты пункт называецца пунктам дотыку. Датычныя маюць некалькі важных уласцівасцей, у тым ліку:
– Датычная заўсёды перпендыкулярная радыусу акружнасці ў кропцы дотыку.
– Даўжыня датычнай ад пункта па-за акружнасцю да акружнасці аднолькавая, калі з гэтага пункта праведзены дзве датычныя.
Прыклады пытанняў і абмеркавання
Ніжэй мы прадставім некалькі прыкладаў пытанняў, якія падрабязна абмяркоўваюць паняцці акружнасцей і датычных.
Прыклад пытання 1: Вызначэнне даўжыні датычнай
Пытанне:
Дадзена акружнасць з цэнтрам у O і радыусам r = 6 см. З пункта P, які знаходзіцца па-за акружнасцю і знаходзіцца на адлегласці 10 см ад цэнтра акружнасці, да акружнасці праведзены дзве датычныя PA і PB. Вылічыце даўжыню датычнай PA.
Абмеркаванне:
У гэтай задачы мы можам выкарыстаць тэарэму Піфагора. Намалюйце трохвугольнік \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{см}\) (адлегласць ад вонкавай кропкі да цэнтра акружнасці)
– \(OA = 6 \, \text{см}\) (радыус акружнасці)
– \(PA\) — гэта датычная лінія, якую трэба знайсці
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + ПА^2
\]
\[
100 = 36 + ПА^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{см}
\]
Такім чынам, даўжыня датычнай лініі \(PA\) роўная 8 см.
Прыклад пытання 2: Пошук кропкі дотыку
Пытанне:
Дадзена акружнасць з ураўненнем \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) і прамая \(y = 2x + 1\). Вызначце кропку дотыку паміж акружнасцю і прамой.
Абмеркаванне:
Спачатку вызначаем цэнтр і радыус акружнасці:
– Цэнтр \(O(3, 4)\)
– Радыус \(r = \sqrt{25} = 5\)
Каб знайсці кропку дотыку, дапусцім, што кропка дотыку — гэта \(T(x_1, y_1)\), якая таксама ляжыць на прамой \(y = 2x + 1\). Тады:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) таксама павінна задавальняць ураўненне акружнасці:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Падстаўце \(y_1 = 2x_1 + 1\) у раўнанне акружнасці:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Нам трэба вылічыць два квадраты.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Аб'яднайце абодва вынікі:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Адніміце 25 ад абодвух бакоў:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Вырашыце квадратнае ўраўненне:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm + 0.4\sqrt{29}
\]
Вылічыце значэнне \(y_1\):
Што задавальняе ўмове y = 2x + 1:
– Калі \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), то \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Калі \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), то \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Ацэнка:
Такім чынам, мы атрымліваем дзве кропкі перасячэння ўраўнення акружнасці з гэтай прамой.
Прыклад пытання 3: Вызначэнне ўраўнення датычнай
Пытанне:
Дадзена акружнасць з ураўненнем \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Вызначце ўраўненне датычнай да акружнасці, якая праходзіць праз кропку \((6, 7)\).
Абмеркаванне:
Датычную да акружнасці з цэнтрам (h, k) і радыусам (r), праведзенай з вядомай знешняй кропкі, можна знайсці з дапамогай ураўнення:
Датычная праходзіць праз знешні пункт \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Падстаўце знешнюю кропку \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Раўнанне датычнай лініі мае выгляд:
\[
x + y = 9
\]
Такім чынам, варыяцыя ўраўнення прамой, якая праходзіць праз кропку акружнасці, вельмі вялікая і можа змяняцца ў залежнасці ад выніку або візуальнага прадстаўлення.
Выснова
Абмеркаванне акружнасцей і датычных ахоплівае некалькі фундаментальных аспектаў матэматыкі, ад прымянення асноўных формул, такіх як тэарэма Піфагора, да рашэння квадратных ураўненняў. Дзякуючы гэтым прыкладам мы можам лепш зразумець, як прымяняць гэтыя паняцці ў даволі складаных сітуацыях. Спадзяемся, што гэты артыкул дапамог вам зразумець, як падыходзіць да задач, звязаных з акружнасцю і датычнымі, і як іх вырашаць.
