Triqonometrik funksiyaların törəmələri
Qabaqcıl riyaziyyatda, xüsusən də hesablamalarda, tez-tez sinus (sin), kosinus (cos), sekant (sec), kosekant (csc), tangens (tan) və kotangens (cot) kimi trigonometrik funksiyalarla qarşılaşırıq. Bu kontekstdə, xüsusən də fizika, mühəndislik və kompüter elmlərində tətbiqlər üçün bu funksiyaların törəmələrini bilmək çox vacibdir. Bu məqalədə bu trigonometrik funksiyaların törəmələrinin necə təyin olunacağı ətraflı izah ediləcək.
Törəmələrə Giriş
Triqonometrik funksiyaların törəmələrini müzakirə etməzdən əvvəl, törəmə anlayışını qısaca nəzərdən keçirək. Bir funksiyanın törəməsi bizə həmin funksiyanın müstəqil dəyişəninə nisbətən dəyişmə sürətini verir. Həndəsi baxımdan, f(x) funksiyasının x nöqtəsindəki törəməsi, toxunan xəttin həmin nöqtədə f(x) əyrisinə olan qradiyentini və ya meylini verir.
Riyazi olaraq, f(x) funksiyasının birinci törəməsi aşağıdakı kimi təyin olunur:
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} \]
Bu tərif əslində trigonometrik funksiyalar üçün eyni qalır, lakin əsas trigonometrik funksiyaların bəzi əsas törəmələrini bilsək, bu daha asan olacaq.
Əsas Triqonometrik Funksiyaların Törəmələri
1. Sinus törəməsi (sin x)
Sinus funksiyası ən əsas triqonometrik funksiyalardan biridir. sin x-in törəməsi cos x-dir. Bu, müəyyən limitlərdən və diferensial cəbrdən irəli gəlir.
\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
Yəni, əgər f(x) = sin x olarsa, onda f'(x) = cos x olar.
2. Kosinus Törəməsi (cos x)
Kosinus başqa bir əsas trigonometrik funksiyadır. cos x-in törəməsi -sin x-dir.
\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
Yəni, əgər f(x) = cos x olarsa, onda f'(x) = -sin x olar.
3. Tangens Törəməsi (tan x)
Tangens funksiyası sinus və kosinusun nisbətidir. Tan x-in törəməsi sek^2 x-dir. Bu, kompozit (zəncirvari) funksiyalar üçün törəmə qaydasından istifadə etməklə əldə edilə bilər.
\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]
Yəni, əgər f(x) = tan x, onda f'(x) = san² x.
4. Kotangens Törəməsi (cot x)
Kotangens tangensin tərsidir. cot x-in törəməsi -csc² x-dir.
\[ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
Yəni, əgər f(x) = cot x, onda f'(x) = -csc² x.
5. Sekant Törəməsi (san x)
Sekans funksiyası kosinusun tərsidir. sec x-in törəməsi sec x tan x-dir.
\[ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
Yəni, əgər f(x) = san x, onda f'(x) = san x tan x.
6. Kosekant Törəməsi (csc x)
Kosekant funksiyası sinusun tərsidir. csc x-in törəməsi -csc x cot x-dir.
\[ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]
Yəni, əgər f(x) = csc x, onda f'(x) = -csc x cot x.
Triqonometrik funksiyalara törəmə qaydalarının tətbiqi
Triqonometrik funksiyaların əsas törəmələrini bildikdən sonra, zəncir qaydası, hasil qaydası və cəm qaydası kimi törəmə qaydalarından istifadə edərək daha mürəkkəb tətbiqlərə keçə bilərik.
1. Zəncir qaydası
Zəncir qaydası, iki və ya daha çox funksiyadan ibarət bir funksiya olduqda istifadə olunur. Onun istifadəsinə dair nümunələr:
Əgər \(g(x) = \sin(3x^2) \) funksiyamız varsa, onun törəməsini tapmaq üçün zəncir qaydasından istifadə edə bilərik:
\[ g'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(3x^2)] \]
\[ = \cos(3x^2) \cdot \frac{d}{dx}[3x^2] \]
\[ = \cos(3x^2) \cdot 6x \]
\[ = 6x \cos(3x^2) \]
2. Məhsul Qaydaları
Hasil qaydası, iki və ya daha çox funksiyanın hasili olan bir funksiyaya sahib olduqda istifadə olunur. Onun istifadəsinə dair nümunələr:
Əgər \( h(x) = x^2 \sin(x) \), hasil qaydasına görə:
\[ h'(x) = \frac{d}{dx}[x^2 \cdot \sin(x)] \]
\[ = x^2 \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}[x^2] \]
\[ = x^2 \cos(x) + \sin(x) \cdot 2x \]
\[ = x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) \]
3. Rəqəm Qaydaları
Cəm qaydası iki və ya daha çox funksiyanın cəmi olan bir funksiya olduqda istifadə olunur. Onun istifadəsinə dair nümunələr:
Əgər \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x) + \cos(x)] \]
\[ = \frac{d}{dx}[\sin(x)] + \frac{d}{dx}[\cos(x)] \]
\[ = \cos(x) + (-\sin(x)) \]
\[ = \cos(x) – \sin(x) \]
Tərs Triqonometrik Funksiyalar və Onların Törəmələri
Əsas trigonometrik funksiyalara əlavə olaraq, sin^-1 x (arcsin x), cos^-1 x (arccos x) və tan^-1 x (arctan x) kimi tərs trigonometrik funksiyalarımız da mövcuddur. Bu funksiyaların törəmələri hesablamaların tətbiqlərində də vacibdir.
Misal olaraq:
– Arcsin x-in törəməsi:
\[ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]
– Arccos x-in törəməsi:
\[ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]
– Arktan x-in törəməsi:
\[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \]
Nəticə
Triqonometrik funksiyaların törəmələrini öyrənmək hesablamada fundamental bir addımdır. Sin, cos, tan, cot, sec və csc kimi əsas funksiyaların törəmələri müxtəlif fənlərdə daha mürəkkəb problemləri təhlil etmək və həll etmək üçün möhkəm bir təməl təmin edir. Bundan əlavə, zəncir qaydasını, hasil qaydasını və cəm qaydasını anlamaq daha mürəkkəb funksiyaların törəmələri ilə işləməyimizə kömək edir. Bu bilik fizika, mühəndislik və kompüter elmləri də daxil olmaqla bir çox praktik və nəzəri tətbiqlərdə əvəzsizdir.
