Bernulli düsturu: Prinsiplər və tətbiqlər
Bernulli prinsipi, 18-ci əsrdə İsveçrəli alim Daniel Bernulli tərəfindən kəşf edilmiş maye mexanikasında fundamental bir anlayışdır. Bu prinsip maye axınının sürəti ilə həmin axındakı təzyiq arasındakı əlaqəni izah edir. Bu məqalədə Bernulli düsturu, onun əsas anlayışları, riyazi törəmələri, hesablama nümunələri və gündəlik həyatda tətbiqləri ətraflı şəkildə müzakirə olunacaq.
Bernulli düsturunu anlamaq
Bernulli düsturu ideal maye axınında (sürtünmə olmadan) vahid həcmə düşən mexaniki enerjinin (potensial enerji, kinetik enerji və təzyiq) miqdarının axın boyunca sabit olduğunu bildirir. Bu düstur aşağıdakı kimi ifadə olunur:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{sabit} \]
Harada:
– \( P \) maye təzyiqidir (paskallarda, Pa),
– \( \rho \) mayenin sıxlığıdır (kub metrə kiloqramla, kq/m³),
– \( v \) maye axın sürətidir (saniyədə metrlə, m/s),
– \( g \) cazibə qüvvəsinin sürətlənməsidir (saniyədə metr kvadratla, m/s²),
– \( h \) mayenin istinad nöqtəsindən yuxarıdakı hündürlüyüdür (metrlə, m).
Bernulli Prinsipi
Bernulli prinsipi enerjinin qorunması qanununa əsaslanır. Maye axınında, sistemə heç bir enerji əlavə edilmədikdə və ya sistemdən çıxarılmadıqda, sistemdəki ümumi enerji sabit qalmalıdır. Vahid həcmə düşən ümumi enerji aşağıdakılardan ibarətdir:
1. Təzyiq Enerjisi (\( P \)): Maye təzyiqinin yaratdığı enerji.
2. Kinetik Enerji (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Maye hərəkətindən qaynaqlanan enerji.
3. Qravitasiya Potensial Enerjisi (\( \rho gh \)): Mayenin qravitasiya sahəsindəki mövqeyindən qaynaqlanan enerji.
Bernulli düsturunun riyazi çıxarılması
Bernulli düsturunun mənşəyini anlamaq üçün 1-ci nöqtədən 2-ci nöqtəyə doğru \(v\) sürətlə axında hərəkət edən kiçik bir maye elementini nəzərdən keçiririk. Sürtünmə və ya istilik səbəbindən enerji itkisinin olmadığını fərz etsək, 1 və 2 nöqtələrindəki ümumi enerji eyni olmalıdır.
1 (\( E_1 \)) nöqtəsindəki ümumi enerji:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
2 (\( E_2 \)) nöqtəsindəki ümumi enerji:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Ümumi enerji sabit olmalıdır, çünki:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Buna Bernulli düsturu deyilir.
Bernulli düsturundan istifadə edərək nümunə hesablama
Tutaq ki, A nöqtəsindən B nöqtəsinə axan suyun olduğu üfüqi bir boru var. A nöqtəsində suyun sürəti 2 m/s, təzyiq isə 150,000 Pa-dır. B nöqtəsində suyun sürəti 4 m/s-dir. Suyun sıxlığı 1000 kq/m³-dir. B nöqtəsindəki təzyiqi hesablayın.
Bernulli düsturundan istifadə edin:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Boru üfüqi olduğundan, \( h_A = h_B \), hər iki nöqtədə \( \rho gh \) nəzərə alınmaya bilər:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Məlum dəyərləri əvəz edin:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Hər iki nöqtədə kinetik enerjini hesablayın:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Beləliklə, B nöqtəsindəki təzyiq 144,000 Pa-dır.
Bernulli prinsipinin tətbiqi
1. Təyyarələr: Bernulli prinsipi təyyarə qanadlarının dizaynında istifadə olunur. Təyyarə qanadının forması elə dizayn edilmişdir ki, qanadın üstündəki hava sürəti qanadın altındakı sürətdən daha böyük olsun. Bu, qanadın üstündəki təzyiqin aşağı, qanadın altındakı təzyiqin isə daha yüksək olmasına səbəb olur və təyyarənin uçmasına imkan verən qaldırıcı qüvvə yaradır.
2. Yarış Vasitələri: Yarış Vasitələrinin aerodinamik dizaynı sürəti və sabitliyi artırmaq üçün Bernulli Prinsipindən istifadə edir. Spoylerlər və diffuzorlar hava axınını tənzimləmək, aşağı qüvvəni artırmaq və avtomobilin yolda dartma qüvvəsini yaxşılaşdırmaq üçün istifadə olunur.
3. Bədəndə Qan Axını: Bernulli Prinsipi qan damarlarından qan axmasına da aiddir. Tibbi vəziyyətləri diaqnoz etmək üçün bədənin müxtəlif hissələrində qan axını sürəti və təzyiqindəki fərqlər öyrənilə bilər.
4. Venturi Ölçüsü: Boruda mayenin axın sürətini ölçmək üçün istifadə olunan cihaz. Venturi ölçən cihazının daralma hissəsi var və bu da Bernulli Prinsipinə uyğun olaraq mayenin axın sürətinin artmasına və təzyiqin azalmasına səbəb olur. Geniş və dar hissələr arasındakı təzyiq fərqi axın sürətini hesablamaq üçün istifadə olunur.
5. Ətir püskürtmə cihazları: Ətir püskürtmə cihazları və ya maye püskürtmə cihazları Bernulli prinsipindən istifadə edir. Dar bir borudan hava üfürüldükdə, borunun ucundakı hava təzyiqi azalır, ətir mayesi borudan yuxarı çəkilir və incə bir duman kimi püskürür.
Bernulli Prinsipinin Tətbiqinə Təsir Edən Faktorlar
1. Sürtünmə: Əslində, mayelər ideal deyil və enerji itkisinə səbəb olan daxili sürtünmə (özlülük) həmişə mövcuddur. Bu, Bernulli Prinsipinin tətbiqini daha mürəkkəb edir.
2. Mayenin Sıxılma qabiliyyəti: Bernulli prinsipini sıxılmayan mayelərə (məsələn, suya) tətbiq etmək daha asandır. Qazlar və ya sıxıla bilən mayelər üçün tənlik tənzimlənməlidir.
3. Turbulentlik: Bernulli prinsipi laminar (müntəzəm) axına aiddir. Turbulent (qeyri-müntəzəm) axında analiz daha mürəkkəbləşir.
Tədqiqat nümunəsi: Təyyarə qanadlarının dizaynında Bernulli prinsipinin istifadəsi
Təyyarə qanadının dizaynı Bernulli Prinsipinin klassik nümunəsidir. Qanadın əyri yuxarı və düz alt forması havanın qanadın üzərindən altından daha sürətli axmasına imkan verir. Bernulli Prinsipinə görə, qanadın üzərindəki daha yüksək hava axını sürəti qanadın altından daha aşağı təzyiq yaradır. Bu təzyiq fərqi təyyarənin uçmasına imkan verən qaldırma qüvvəsini yaradır.
Tutaq ki, bir təyyarənin qanad sahəsi 25 m²-dir. Qanadın üstündəki hava sürəti 70 m/s, qanadın altındakı hava sürəti isə 50 m/s-dir. Hava sıxlığı 1.225 kq/m³-dir. Yaranan qaldırma qüvvəsini hesablayın.
1. Bernulli düsturundan istifadə edərək təzyiq fərqini (\( \Delta P \)) hesablayın:
\[ P_{bottom} – P_{top} = \frac{1}{2} \rho (v_{top}^2 – v_{bottom}^2) \]
Məlum dəyərləri əvəz edin:
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \dəfə 1.225 \dəfə 2400 \]
\[ \Delta P = 1.225 \1200-ə bərabərdir \]
\[ \Delta P = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Qaldırıcı qüvvəni hesablayın (\( F_{lift} \)):
\[ F_{lift} = \Delta P \times A \]
\[ F_{lift} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{qaldır} = 36,750 \, \mətn{
N} \]
Beləliklə, yaranan qaldırma qüvvəsi 36,750 Nyutondur.
Nəticə
Bernulli Prinsipi maye mexanikasının əsaslarından biridir və maye axınının sürəti ilə təzyiq arasındakı əlaqəni izah edir. Bernulli Formulunu anlamaq və tətbiq etməklə, təyyarələrdən axın ölçənlərə qədər maye axını ilə əlaqəli müxtəlif sistemləri təhlil edə və dizayn edə bilərik. Təcrübədə sürtünmə və turbulentlik kimi amilləri tez-tez nəzərə almalı olsaq da, Bernulli Prinsipi maye dinamikasını anlamaqda və səmərəli mühəndislik həllərinin hazırlanmasında vacib bir vasitə olaraq qalır.
