Nümunə Suallar və Müzakirə: Tək Məlumatların Variansı və Standart Sapması
Statistika, məlumatların toplanması, təhlili, təfsiri, təqdimatı və təşkili ilə məşğul olan riyaziyyatın bir qoludur. Statistikada iki vacib anlayış dispersiya və standart sapmadır. Bu məqalədə bir neçə nümunə məsələsi vasitəsilə tək bir məlumat dəstinin dispersiyasını və standart sapmasını necə hesablamaq ətraflı müzakirə olunacaq.
Varians və Standart Sapma Anlamaq
Variasiya, məlumat dəstindəki rəqəmlərin orta və ya orta qiymətdən nə qədər uzaqda olduğunu ölçən bir ölçüdür. Variasiya orijinal məlumatların kvadrat vahidləri ilə ifadə olunur və bu da onu şərh etməyi çox vaxt çətinləşdirir.
Standart sapma dispersiyanın kvadrat köküdür. Bu, məlumatların vahidləri məlumatların orijinal vahidləri ilə eyni olduğundan, məlumatların ümumiyyətlə orta qiymətdən nə qədər uzaqlaşdığını daha intuitiv şəkildə ölçmək imkanı verir.
Ümumi Formula
Tək məlumatlar üçün populyasiyanın dispersiyası \( \sigma^2 \) və standart sapması \( \sigma \) üçün düstur aşağıdakı kimidir:
1. Dispersiya (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standart Sapma (σ):
\( \sigma = \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Harada:
– \( N \) populyasiyadakı məlumatların sayıdır.
– \( x_i \) i-ci məlumat dəyəridir.
– \( \mu \) məlumatların ortalaması və ya ortalamasıdır.
Nümunənin dispersiyasını və standart sapmasını hesablasaq, yuxarıdakı düstur bir qədər dəyişdirilmişdir:
1. Nümunə Variansı (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Nümunə Standart Sapma(lar):
\( s = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Harada:
– \( n \) nümunədəki məlumatların sayıdır.
– \( \bar{x} \) nümunənin orta qiyməti və ya ortalamasıdır.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Nümunə Sual 1:
Aşağıdakı məlumatlar nəzərə alınmaqla:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Məlumatların dispersiyasını və standart sapmasını hesablayın!
Həll addımları:
1. Orta Qiymətin (Orta Qiymətin) Hesablanması \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Məlumat və orta qiymət arasındakı fərqi, sonra isə kvadratı hesablayın:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Bütün Kvadrat Nəticələrin Əlavə Edilməsi:
\[
\cəm (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Əhali Məlumatlarının Variansının (σ²) Hesablanması:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Qeyd: Bu məlumatlar əhali məlumatları kimi göstərildiyi üçün 6-ya bölünür.
5. Standart Sapmanın (σ) hesablanması:
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \təxminən 1.886
\]
Beləliklə, məlumatların dispersiyası 3.559, standart sapma isə 1.886-dır.
Nümunə Sual 2:
Aşağıdakı nümunə məlumatları nəzərə alınmaqla:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Nümunənin dispersiyasını və standart sapmasını hesablayın!
Həll addımları:
1. Orta (Orta) \( \bar{x} \) hesablanması:
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Məlumat və orta qiymət arasındakı fərqi, sonra isə kvadratı hesablayın:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Bütün Kvadrat Nəticələrin Əlavə Edilməsi:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Nümunə Variansının (s²) hesablanması:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Qeyd: Bu nümunə məlumatları olduğundan, 5-ə (n-1) bölünür.
5. Standart Sapma(lar)ın Hesablanması:
\[
s = \sqrt{5.351} \təqribən 2.313
\]
Beləliklə, nümunə məlumatlarının dispersiyası 5.351, standart sapma isə 2.313-dür.
Nəticə
Verilmiş çoxluq daxilində yayılan məlumatların necə olduğunu anlamaq üçün dispersiya və standart sapmanın hesablanması vacibdir. Dispersiya orijinal vahidlərin kvadratlarında nəzəri dispersiya ölçüsünü təmin etsə də, standart sapma dispersiya ölçüsünü məlumatların orijinal vahidləri baxımından şərh edir və bu da onu başa düşməyi asanlaşdırır. Məlumatların təhlilində bu iki ölçü tez-tez məlumatların dəyişkənliyini qiymətləndirmək və statistik qərarlar qəbul etmək üçün istifadə olunur.
Lazımi addımları və düsturları başa düşməklə, gündəlik məlumatların toplanması və təhlilində rastlaşdığımız müxtəlif vəziyyətlər üçün dispersiyanı və standart sapmanı asanlıqla hesablaya bilərik. Ümid edirik ki, bu məqalə tək məlumat dəstlərində dispersiya və standart sapma anlayışlarını daha dərindən anlamağa imkan verəcək.
