Triqonometriya Nümunə Sualları və Müzakirə
Triqonometriya, üçbucaqlarda bucaqlar və tərəflərin uzunluqları arasındakı əlaqəni öyrənən riyaziyyatın bir qoludur. Triqonometriyanın əsas anlayışlarını anlamaq fizika və mühəndislikdən astronomiya və coğrafiyaya qədər müxtəlif tətbiqlərdə vacibdir. Bu məqalədə başa düşməyə kömək etmək üçün bir neçə nümunə məsələsini və tam izahatları izah edəcəyik.
Nümunə Sual 1: Sinus Metodundan İstifadə Edərək Üçbucağın Tərəflərinin Hesablanması
Sual:
Bucağı A = 30°, bucağı B = 45° və tərəfi b = 10 sm olan ABC üçbucağı verilmişdir. a tərəfinin uzunluğunu hesablayın.
Müzakirə:
Sinuslar qanunundan istifadə edin:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Məlum dəyərləri daxil edin:
\[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Biz bilirik ki:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
İndi bu dəyərləri tənliyə əvəz edin:
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Tənliyi sadələşdirin:
\[ 2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ 2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Məxrəci rasionallaşdırın:
\[ 2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[ 2a = 10\sqrt{2} \]
\[ a = 5\sqrt{2} \]
Beləliklə, a tərəfinin uzunluğu √(5\sqrt{2}\) sm-dir.
Nümunə Sual 2: Kosinus Metodundan İstifadə Edərək Bucaqların Hesablanması
Sual:
Üçbucağın tərəfləri a = 7 sm, b = 10 sm və c = 5 sm-dir. C bucağının ölçüsünü təyin edin.
Müzakirə:
Kosinuslar qanunundan istifadə edin:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
Məlum dəyərləri daxil edin:
\[ 5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \]
Tənliyi sadələşdirin:
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \cos C \]
\[ 25 = 149 – 140 \cos C \]
149 nömrəli rəqəmi sola doğru hərəkət etdirin:
\[ 25 – 149 = -140 \cos C \]
\[ -124 = -140 \cos C \]
\[ \cos C = \frac{124}{140} \]
\[ \cos C = \frac{62}{70} \]
\[ \cos C = \frac{31}{35} \]
\( \cos^{-1} \) (tərs kosinus) tapmaq üçün kalkulyatordan istifadə edin:
\[ C \approx \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[ C \təxminən 25.84° \]
Beləliklə, C bucağının ölçüsü təxminən 25.84°-dir.
Nümunə Sual 3: Üçbucağın Hündürlüyünün və Sahəsinin Hesablanması
Sual:
Üçbucağın iki tərəfinin uzunluğu a = 6 sm və b = 8 sm, aralarındakı bucaq isə 60°-dir. Üçbucağın hündürlüyünü və sahəsini hesablayın.
Müzakirə:
1. Üçbucağın sahəsinin hesablanması:
Üçbucağın sahəsi üçün düsturdan istifadə edin:
\[ \text{Sahə} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Məlum dəyərləri daxil edin:
\[ \mətn{Sahə} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]
Biz bilirik ki:
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Beləliklə:
\[ \mətn{Sahə} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \mətn{Sahə} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \mətn{Sahə} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \mətn{Sahə} = 12\kvadrat{3} \]
Beləliklə, üçbucağın sahəsi 12 sm²-dir.
2. Üçbucağın hündürlüyünün a əsasından hesablanması:
Üçbucağın hündürlüyünü hesablamaq üçün hündürlüyü h ilə işarələyin və sahə düsturundan istifadə edin:
\[ \mətn{Sahə} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12\kvadrat{3} = 3saat \]
\[ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \]
Beləliklə, üçbucağın hündürlüyü √(4√3) sm-dir.
Nümunə Sual 4: Düzbucaqlı Üçbucağın Tərəflərinin Təyin Edilməsi
Sual:
Bucağı 30° və bucağının paralel tərəfi 5 sm olan düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun uzunluğunu təyin edin.
Müzakirə:
Düzbucaqlı üçbucaqda 30° bucaq üçün trigonometrik nisbətlərdən istifadə edin:
\[ \sin \theta = \frac{\text{front}}{\text{hipotenuz}} \]
\[ \sin 30° = \frac{arxa}{hipotenuz} = \frac{5}{\text{hipotenuz}} \]
Biz bilirik ki:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
Beləliklə:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{hipotenuz}} \]
\[ \mətn{hipotenuza} = 10 \]
Beləliklə, hipotenuzanın uzunluğu 10 sm-dir.
Nümunə Sual 5: Triqonometrik Funksiyalarla Bucaqların Hesablanması
Sual:
Əgər \( \tan \theta = \frac{3}{4} \) olarsa, \(\theta\) bucağının ölçüsünü hesablayın.
Müzakirə:
Tərs tangens düsturundan istifadə edərək:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]
Kalkulyatorun köməyi ilə:
\[ \theta \təxminən 36.87° \]
Beləliklə, teta bucağının ölçüsü təxminən 36.87°-dir.
Nəticə
Triqonometriya müxtəlif sahələrdə geniş tətbiq olunan geniş riyazi bir anlayışdır. Sinuslar, kosinuslar və digər əsas funksiyalar qanunlarından necə istifadə edəcəyimizi anlamaq üçbucaqlar və bucaqlarla bağlı müxtəlif məsələləri həll etməyə imkan verir. Yuxarıdakı nümunələr vasitəsilə oxucuların daha dərindən başa düşəcəklərinə və triqonometriyanı başa düşməyi tələb edən müxtəlif vəziyyətlərdə tətbiq edə biləcəklərinə ümid edilir.
