Dekart müstəvisində transformasiyanı müzakirə edən nümunə suallar
Dekart müstəvisindəki çevrilmələr riyaziyyatda, xüsusən də həndəsədə vacib bir mövzudur. Bu çevrilmələr ikiölçülü müstəvidə obyektin formasını dəyişdirməyi və ya hərəkət etdirməyi hədəfləyən tərcümə, əks olunma, fırlanma və genişlənmə kimi müxtəlif əməliyyatları əhatə edir. Bu məqalədə bir neçə nümunə məsələ nəzərdən keçiriləcək və Dekart müstəvisindəki çevrilmələrlə əlaqəli məsələlər müzakirə olunacaq.
Transformasiya növləri
Nümunə məsələsinə keçməzdən əvvəl, əvvəlcə aşağıdakı çevrilmə növlərini nəzərdən keçirək:
1. Tərcümə (Növbə)
Translyasiya, müstəvidəki bir nöqtənin və ya cismin müəyyən bir məsafəyə, müəyyən bir istiqamətdə yerini dəyişməsidir. Translyasiya aşağıdakı kimi təyin edilə bilər:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
burada \(a\) və \(b\) üfüqi və şaquli yerdəyişmə məsafələridir.
2. Əks olunma
Əks olunma, bir nöqtənin və ya cismin x, y və ya başqa bir xətt boyunca bir ox üzərindən əks olunmasıdır. Məsələn, x oxu boyunca əks olunma:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Fırlanma (Fırlanma)
Fırlanma, bir nöqtənin və ya cismin mərkəzi nöqtə ətrafında müəyyən bir bucaq altında fırlanmasıdır. Saat əqrəbinin əksinə bir bucaq altında fırlanma aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:
\[
(x, y) \sağ ox (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Genişləndirmə (Miqyaslama)
Genişləndirmə, obyektin ölçüsünün müəyyən bir miqyas faktoru ilə dəyişməsidir. Əgər miqyas faktoru \(k\) olarsa, genişlənmə aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Nümunə Suallar və Müzakirə
Sual 1: Tərcümə
Sual:
5 vahid sağa və 4 vahid yuxarı sürüşdürərək \(A(2, 3)\) nöqtəsində bir tərcümə yerinə yetirin.
Müzakirə:
\(5\) vahidlərini sağa çevirmək x koordinatını \(5\) artırmaq deməkdir. “4 vahid yuxarı” ifadəsi y koordinatını \(4\) artırmaq deməkdir. Tərcümənin nəticəsi belədir:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Beləliklə, tərcümədən sonra \(A(2, 3)\) nöqtəsi belə olur:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Beləliklə, tərcümədən sonrakı \(A(2, 3)\) nöqtəsi \(A'(7, 7)\)-dir.
Sual 2: Düşüncə
Sual:
y oxu ətrafında \(B(-4, 7)\) nöqtəsini əks etdirin.
Müzakirə:
Y oxu haqqında düşünmə x koordinatını orijinal x koordinatının mənfisinə dəyişir, y koordinat isə eyni qalır.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Beləliklə, əks olunmadan sonrakı \(B(-4, 7)\) nöqtəsi belə olur:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Beləliklə, y oxu ətrafında əks olunmadan sonra \(B(-4, 7)\) nöqtəsi \(B'(4, 7)\)-dir.
Sual 3: Rotasiya
Sual:
\(C(1, 2)\) nöqtəsini mərkəzi başlanğıc nöqtəsində olmaqla saat əqrəbinin əksinə \(90^\circ\) qədər fırladın.
Müzakirə:
Saat əqrəbinin əksinə fırlanma (90^\circ\) aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Beləliklə, fırlanmadan sonra \(C(1, 2)\) nöqtəsi belə olur:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Beləliklə, saat əqrəbinin əksinə fırlandıqdan sonra '(90^\circ\)' nöqtəsi '(C'(-2, 1)\)'-dür.
Sual 4: Dilatasiya
Sual:
\(D(3, 4)\) nöqtəsini miqyas əmsalı \(k = 2\) ilə genişləndirin.
Müzakirə:
\(2\) miqyas faktoru ilə dilatasiya hər iki koordinatını \(2\)-ə vurmaq deməkdir.
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Beləliklə, dilatasiyadan sonra \(D(3, 4)\) nöqtəsi belə olur:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Beləliklə, miqyas faktoru \(2\) ilə dilatasiyadan sonra \(D(3, 4)\) nöqtəsi \(D'(6, 8)\)-dir.
Sual 5: Çevrilmələrin Kombinasiyası
Sual:
x oxunu düşünün və sonra \(E(8, -6)\) nöqtəsində miqyas faktoru \(k = 0.5\) ilə genişləndirin.
Müzakirə:
İlk addım x oxu haqqında düşünməkdir:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
İkinci addım, miqyas faktoru \(0.5\) olan bir dilatasiya yerinə yetirməkdir:
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Beləliklə, x oxu ətrafında əks olunma və miqyas faktoru ilə genişlənmədən sonra \(E(8, -6)\) nöqtəsi \(E'(4, 3)\)-dir.
Sual 6: Dönmə və Tərcümə ilə Transformasiya
Sual:
\(F(-3, 4)\) nöqtəsini saat əqrəbinin əksinə \(180^\circ\) qədər fırladın, sonra nəticəni \((2, -1)\) vektoru ilə çevirin.
Müzakirə:
İlk addım saat əqrəbinin əksinə \(180^\circ\) fırlatmaqdır:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
İkinci addım, \((2, -1)\) vektoru ilə tərcüməni yerinə yetirməkdir:
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Beləliklə, fırlanmadan sonra (180^\circ\) və vektorla ((2, -1)\) çevrilmədən sonra (F(-3, 4)\) nöqtəsi (F'(5, -5)\)-dir.
Nəticə
Dekart müstəvisindəki çevrilmələr həndəsədə vacib bir anlayışdır və tərcümə, əks olunma, fırlanma və genişlənmə kimi müxtəlif əməliyyatları əhatə edir. Hər bir çevrilmə növünün necə işlədiyini anlamaqla, müstəvidəki bir obyektin mövqeyini və ya formasını asanlıqla dəyişə bilərik. Yuxarıdakı nümunələr vasitəsilə müxtəlif çevrilmələrin praktik tətbiqlərini və daha mürəkkəb çevrilmələrə nail olmaq üçün onların necə birləşdirilə biləcəyini görə bilərik. Ümid edirik ki, bu məqalə Dekart müstəvisindəki çevrilmələri anlamaqda faydalı olmuşdur.
