Nümunə Suallar və Müəyyən İnteqralların Xüsusiyyətlərinin Müzakirəsi
Müəyyən inteqral hesablamada fundamental bir anlayışdır və riyaziyyat, fizika və mühəndislik sahələrində geniş tətbiq sahələrində olduqca faydalıdır. Bu məqalədə müəyyən inteqralın bəzi vacib xüsusiyyətlərini izah edəcək və mövzunu daha dərindən anlamağınız üçün nümunələr və həllər təqdim edəcəyik.
Müəyyən İnteqralların Xüsusiyyətləri
Nümunə məsələlərə keçməzdən əvvəl, bilməli olduğumuz bəzi vacib olan müəyyən inteqralların bəzi əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək:
1. Xəttilik Xüsusiyyəti:
– Əgər \( f(x) \) və \( g(x) \) inteqrallana bilən funksiyalar, \( a \) və \( b \) isə sabitlərdirsə, onda:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
2. Sabitin inteqralı:
– Əgər \( c \) sabitdirsə, onda:
\[
\int_a^bc \, dx = c(b – a).
\]
3. İnterval Toplamasının Xüsusiyyətləri:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
4. Limitlərin Geri Dönüşü:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]
5. Eyni Limitdə Sıfır:
\[
\int_a^af(x) \, dx = 0
\]
Nümunə Sual 1: Xəttilik Xassəsindən İstifadə
Problemlərə Nümunə:
Dəyərini hesablayın:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx
\]
Müzakirə:
İnteqralı iki hissəyə ayırmaq üçün xəttilik xassəsindən istifadə edin:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = \int_0^2 3x^2 \, dx + \int_0^2 2x \, dx
\]
İlk inteqralı hesablayaq:
\[
\int_0^2 3x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2
\]
\[
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
\]
\[
= 3 \left( \frac{8}{3} \right)
\]
\[
= 8
\]
İndi ikinci inteqralı hesablayırıq:
\[
\int_0^2 2x \, dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
\]
\[
= 2 \left( 1 – 0 \right)
\]
\[
= 2
\]
İki nəticəni birləşdirin:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = 8 + 2 = 10
\]
Nümunə Sual 2: Sabitin İnteqralı
Problemlərə Nümunə:
Dəyərini hesablayın:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]
Müzakirə:
Sabitlərin inteqral xüsusiyyətindən istifadə edərək yaza bilərik:
\[
\int_1^4 5 \, dx = 5 \cdot (4 – 1)
\]
\[
= 5 \cdot 3
\]
\[
= 15
\]
Nümunə Sual 3: Limit Dəyişikliyinin Xüsusiyyətləri
Problemlərə Nümunə:
Bunu sübut edin:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx
\]
Müzakirə:
\(x^2 \)-nin \([2, 5] \) intervalındakı inteqralından başlayırıq:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
İndi isə, \(x^2 \)-nin \([5, 2] \) intervalındakı inteqralı hesablayaq və cavabın işarəsini tərsinə çevirdiyimizdən əmin olaq:
\[
\int_5^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
Sübut olunub ki:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx.
\]
Nümunə Sual 4: İnterval Toplamasının Xüsusiyyətləri
Problemlərə Nümunə:
Əgər \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) və \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) məlumdursa, \(\int_2^6 f(x) \, dx\)-nin qiymətini hesablayın.
Müzakirə:
Aralıq toplama xüsusiyyətindən istifadə edərək:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
Nəticə
Müəyyən inteqralın müxtəlif növ problemləri daha səmərəli həll etməyimizə kömək edə biləcək bir çox vacib xüsusiyyətləri var. Bu məqalədə bu əsas xüsusiyyətlərdən bəzilərini müzakirə etdik və bu xüsusiyyətlərin praktikada necə tətbiq oluna biləcəyini göstərən nümunələr təqdim etdik. Kifayət qədər anlayış və təcrübə ilə müəyyən inteqral məsələlərini daha inamla həll edə biləcəksiniz.
