Düz müstəvinin sahəsinin hesablanmasında inteqralların tətbiqinin nümunə sualları və müzakirəsi
Riyaziyyat tədrisində inteqrallara tez-tez hesablamalarda rast gəlinir. İnteqralların ən məşhur tətbiqlərindən biri əyri və ya müstəvi altındakı sahənin hesablanmasıdır. Bu məqalədə bir neçə nümunə məsələsi müzakirə ediləcək və müstəvinin sahəsinin hesablanmasında inteqralların tətbiqi müzakirə olunacaq.
Nəzəriyyəyə Giriş
Nümunə məsələsinə keçməzdən əvvəl, inteqrallardan istifadə edərək əyrinin altındakı sahənin hesablanmasının əsas konsepsiyasını nəzərdən keçirək. Əgər [a, b] intervalında kəsilməz olan f(x) funksiyamız varsa, onda x = a-dan x = b-yə qədər y = f(x) əyrisinin altındakı sahə belədir:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Həndəsi olaraq, bu, çox nazik düzbucaqlının sahəsini x = a-dan x = b-yə qədər cəmlədiyimiz deməkdir.
Nümunə Sual 1
Soal
[1, 3] intervalında y = x² əyrisinin altındakı sahəni hesablayın.
Müzakirə
Sahəni hesablamaq üçün inteqraldan istifadə edirik:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
\(x^2 \)-nin antitörəməsini tapmaqla başlayırıq. \(x^2 \)-nin antitörəməsi \( \frac{x^3}{3} \)-dir. Sonra inteqral aşağıdakı kimi olur:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Unutmayın ki, antitörəməni inteqralın hüdudlarında qiymətləndirməliyik:
\[ L = \soft( \frac{3^3}{3} \right) – \soft( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{1}{3} \right) – \left( \frac{27}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Beləliklə, x = 1-dən x = 3-ə qədər y = x² əyrisinin altındakı sahə belədir:
\[ \frac{26}{3} \, \text{sahə vahidi} \]
Nümunə Sual 2
Soal
y = x³ əyrisi və x = 1 və x = 2 xətləri ilə məhdudlaşan sahənin sahəsini təyin edin.
Müzakirə
Sahəni hesablamaq üçün inteqraldan istifadə edirik:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Həmişəki kimi, \(x^3 \)-ün antitörəməsini tapmaqla başlayırıq. \(x^3 \)-ün antitörəməsi \( \frac{x^4}{4} \)-dür. İnteqral aşağıdakı kimi olur:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
İnteqralın limitlərini qiymətləndirin:
\[ L = \soft( \frac{2^4}{4} \right) – \soft( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{1}{4} \right) – \left( \frac{16}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Beləliklə, x = 1-dən x = 2-yə qədər olan y = x³ əyrisinin altındakı sahə belədir:
\[ \frac{15}{4} \, \text{sahə vahidi} \]
Nümunə Sual 3
Soal
x = 0 ilə x = 1 arasındakı intervalda y = x² + 1 və y = 2x + 2 əyriləri ilə məhdudlaşan sahənin sahəsini təyin edin.
Müzakirə
Əvvəlcə, inteqralın limitlərini təyin etmək üçün kəsişmə nöqtələrini tapmalıyıq. \(x^2 + 1 = 2x + 2 \) tənliyinin həlli:
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Kvadrat düsturundan istifadə edərək:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Lakin, 0 ilə 1 arasındakı yuxarı və aşağı limitlər üçün kvadratik həlldən istifadə etməyə ehtiyac yoxdur, sadəcə 0-dan 1-ə qədər olan adi inteqral limitdən istifadə edirik. Daha sonra, bu limitlərə uyğun olaraq yuxarı y əyrisinin sahəsini aşağı y əyrisi çıxılmaqla hesablayın:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Funksiyanın sadələşdirilməsi:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Sonra, antitörəməni tapırıq:
\( (-x^2) \)-ün antitörəməsi \( -\frac{x^3}{3} \)-dir,
\( (2x) \)-ün antitörəməsi \( x^2 \)-dir,
\( (1) \)-nin antitörəməsi \( x \)-dir.
Belə ki,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Növbəti qiymətləndirmə:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Beləliklə, [0, 1] intervalında y = x² + 1 və y = 2x + 2 əyriləri ilə məhdudlaşan sahənin sahəsi aşağıdakı kimidir:
\[ \frac{5}{3} \, \text{sahə vahidi} \]
-
Yuxarıdakı nümunələrdən inteqralların əyri altındakı və ya iki əyri arasındakı sahəni hesablamaq üçün necə istifadə edilə biləcəyini görə bilərik. İnteqralların və antitörəmə üsullarının əsas anlayışlarını düzgün başa düşməklə bu sahələrin hesablanması çox sistemli və səmərəli olur. Ümid edirik ki, bu məqalə inteqralların real dünyada, xüsusən də müstəvi səthlərin sahəsinin ölçülməsi sahəsində tətbiqi ilə bağlı anlayışımızı artırdı.
