Triqonometrik Nisbətlərin İstifadəsini Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Triqonometriya, üçbucaqların tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqələri öyrənən riyaziyyatın bir qoludur. Triqonometriyanı anlamaq çox vacibdir, çünki o, memarlıq, mühəndislik, astronomiya və hətta kriptoqrafiya da daxil olmaqla müxtəlif sahələrdə tez-tez istifadə olunur. Bu məqalədə bir neçə nümunə məsələsi müzakirə ediləcək və onlar triqonometrik nisbətlərin istifadəsi kontekstində müzakirə olunacaq.
Triqonometriyanın əsas anlayışları
Nümunə məsələlərə keçməzdən əvvəl, triqonometriyanın bəzi əsas anlayışlarını nəzərdən keçirək. Düzbucaqlı üçbucaqda tez-tez istifadə olunan üç əsas triqonometrik funksiya var: sinus, kosinus və tangens.
– Bucağın sinusu (sin), bucağın qarşısındakı tərəfin uzunluğunun hipotenuzun uzunluğuna nisbətidir.
\[
\sin \theta = \frac{\text{ön tərəf}}{\text{hipotenuz}}
\]
– Bucağın kosinusu (cos), bucağa bitişik tərəfin uzunluğunun hipotenuzun uzunluğuna nisbətidir.
\[
\cos \theta = \frac{\text{bitişik tərəf}}{\text{hipotenuz}}
\]
– Bucağın tangensi (tangensi), bucağın qarşısındakı tərəfin uzunluğunun bucağa bitişik tərəfin uzunluğuna nisbətidir.
\[
\tan \theta = \frac{\text{front side}}{\text{side side}}
\]
Nümunə Sual 1: Qüllənin Hündürlüyünün Hesablanması
Sual: Müşahidəçi qüllədən 50 metr aralıda dayanır və qüllənin zirvəsinin yüksəliş bucağını 30 dərəcə ölçür. Qüllənin hündürlüyünü təyin edin.
Həll yolu: Bu problemi həll etmək üçün triqonometriyada tangens funksiyasından istifadə edə bilərik. Yüksəklik bucağını və müşahidəçidən qülləyə qədər üfüqi məsafəni bildiyimiz üçün yaza bilərik:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{tower height}}{\text{horizontal distance}}
\]
Məlum dəyərləri əvəz edin:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
\(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) olduğu məlumdur, beləliklə:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Daha sonra qüllənin hündürlüyü, \(h\), tənliyin hər iki tərəfini 50-yə vurmaqla tapıla bilər:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \təxminən 28.87 \, \text{meter}
\]
Qalanın hündürlüyü təxminən 28.87 metrdir.
Nümunə Sual 2: Kosinusdan istifadə edərək məsafənin təyini
Sual: Gəmi 10 km şərqə doğru hərəkət edir, sonra kursunu 60 dərəcə şimala dəyişir və 15 km üzür. Başlanğıc nöqtəsindən gəmiyə qədər olan məsafəni təyin edin.
Müzakirə: Bu problemi həll etmək üçün triqonometriyada kosinus qaydasından istifadə edə bilərik. Gəminin səyahətini koordinat sistemində çəksək, tərəfləri 10 km və 15 km, bucağı isə 60 dərəcə olan üçbucaq tapırıq. Kosinus qaydasından gəminin başlanğıc nöqtəsi ilə son mövqeyi arasındakı məsafəni tapmaq üçün istifadə edə bilərik.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Harada:
– \( a = 10 \)
– \( b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Məlum dəyərləri əvəz edin:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ
\]
Bilirik ki, \(\cos 60^\circ = 0.5\), onda:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \təxminən 13.23 \, \text{km}
\]
Beləliklə, başlanğıc nöqtəsindən gəmiyə qədər olan məsafə təxminən 13.23 km-dir.
Nümunə Sual 3: Üçbucağın Tərəflərini Təyin Etmək üçün Sinusdan İstifadə
Sual: Üçbucaqda iki tərəf 7 sm və 10 sm-dir, aralarındakı bucaq isə 45 dərəcədir. Üçbucağın üçüncü tərəfinin uzunluğunu hesablayın.
Müzakirə: Bu problemi həll etmək üçün sinuslar qanunundan istifadə edə bilərik. Sinuslar qanununda, tərəfləri \(a\), \(b\) və \(c\) olan və tərəfləri \(a\) və \(b\) arasında bucağı \(C\) olan üçbucaq üçün:
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Lakin, bu halda, işləri asanlaşdırmaq üçün kosinuslar qanunundan birbaşa istifadə edə bilərik. Kosinuslar qanununda deyilir:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Harada:
– \( a = 7 \)
– \( b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), beləliklə:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
\( c \ )-nin dəyərini hesablamaq:
\[
c \təxmini \sqrt{149 – 70\sqrt{2}} \təxmini 5.97 \, \mətn{sm}
\]
Beləliklə, üçbucağın üçüncü tərəfinin uzunluğu təxminən 5.97 sm-dir.
Nəticə
Triqonometriya üçbucaqlar və bucaqlarla bağlı müxtəlif məsələlərin həlli üçün çox faydalı bir vasitədir. Sinus, kosinus, tangens və triqonometriya qanunlarını yaxşı başa düşməklə bir çox praktik məsələləri həll edə bilərik. Bu məqalədə oxucuların daha yaxşı başa düşmələrinə kömək edəcəyinə ümid etdiyimiz triqonometrik nisbətlərdən istifadənin bir neçə nümunəsi müzakirə olunur.
