Normal Paylanmanın Gözlənilən Dəyəri haqqında Müzakirə Sualının Nümunəsi
Normal paylanma, həmçinin Qaus paylanması kimi də tanınır, statistika və ehtimalda ən çox istifadə edilən davamlı ehtimal paylanmalarından biridir. Bu paylanma, simmetriya və orta (µ) və standart sapma (σ) ilə parametrləşmədəki unikallığı kimi əlverişli riyazi xüsusiyyətlərinə görə müxtəlif statistik nəticələrdə əsas fərziyyə kimi tez-tez istifadə olunur. Bu məqalədə bu konsepsiyanı daha dərindən anlamaq üçün nümunələr müzakirə ediləcək və normal paylanmanın gözlənilən dəyəri müzakirə ediləcək.
Normal Paylanmanı Anlamaq
Normal paylanma simmetrik zəng əyrisi ilə təsvir olunur və əksər dəyərlər orta dəyər və ya orta dəyər ətrafında cəmləşir. Bu paylanma daxilində orta (µ) və standart sapma (σ) məlumatlardakı yayılmanın yerini və miqdarını müəyyən edən iki vacib parametrdir.
Normal paylanmanın ehtimal sıxlığı funksiyası (PDF) belədir:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Harada:
– \( \mu \) orta və ya orta qiymətdir
– \( \sigma \) standart sapmadır
– \( x \) təsadüfi dəyişəndir
Normal Paylanmada Gözlənilən Dəyər
Normal paylanmaya malik təsadüfi dəyişənin gözlənilən dəyəri paylanmanın orta qiymətinə bərabərdir. Əgər \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \) olarsa, gözlənilən dəyər \(E(X) \) belədir:
\[ E(X) = \mu \]
Anlayışımızı gücləndirmək üçün normal paylanmalarda gözlənilən dəyərlərlə bağlı bəzi problemlərin nümunələri ilə davam edək.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Nümunə Sual 1:
Tutaq ki, \(X \) \(\mu = 50 \) və \(\sigma = 10 \) olan normal paylanmış təsadüfi dəyişəndir. \(X \)-nin gözlənilən dəyərini hesablayın.
Müzakirə:
Daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, normal paylanmada gözlənilən \(E(X) \) dəyəri \( \mu \)-yə bərabərdir. Beləliklə,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
Nümunə Sual 2:
Təsadüfi dəyişən \(Y \) normal olaraq \(\mu = 120 \) və \(\sigma = 15 \) ilə paylanır. \(Y \)-nin gözlənilən dəyərini tapın.
Müzakirə:
Birinci nümunəyə bənzər şəkildə, \(Y\)-nin gözlənilən dəyəri normal paylanmanın orta dəyəri və ya ortalamasıdır, yəni:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
Nümunə Sual 3:
Əgər təsadüfi dəyişən \(Z \) \(mu = 0 \) və \(sigma = 1 \) (standart normal paylanma) ilə normal paylanmaya uyğundursa, \(Z \)-nin gözlənilən dəyəri nədir?
Müzakirə:
Standart normal paylanmanın orta qiyməti \(\mu = 0 \)-dir, buna görə də gözlənilən dəyər \(E(Z) \) belədir:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Nümunə Sual 4:
Tutaq ki, \(W\) orta qiyməti \(\mu = 75\) və standart sapması \(\sigma = 20\) olan normal paylanmış təsadüfi dəyişəndir. Yeni bir təsadüfi dəyişən \(V = 2W + 3\) təyin etsək, \(V\)-nin gözlənilən dəyəri nədir?
Müzakirə:
\(V\)-nin gözlənilən dəyərini tapmaq üçün gözlənilən dəyərin xəttilik xüsusiyyətindən istifadə etməliyik. \(V = 2W + 3\) verildikdə:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Gözlənilən dəyərin xəttilik xüsusiyyətinə əsasən, sabiti təsadüfi dəyişəndən ayıra bilərik:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Sabitin gözlənilən dəyərinin sabitin özü olduğunu bilmək:
\[ E(3) = 3 \]
Və \(W\)-nin gözlənilən dəyəri normal paylanma \(W\)-nin orta qiymətidir:
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Beləliklə,
\[ E(V) = 2 \v 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Nümunə Sual 5:
Təsadüfi dəyişən \(Q\) orta \(\mu = 40\) və standart sapma \(\sigma = 5\) olan normal paylanmaya uyğundur. \[U = Q/2\] olarsa, \(Q\)-nin gözlənilən dəyəri nədir?
Müzakirə:
Biz nümunə 4-dəki kimi eyni prinsipdən, yəni gözlənilən dəyərin xəttilik xüsusiyyətindən istifadə edirik. Nəzərə alsaq ki, \( U = Q/2 \), onda:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Gözlənilən dəyərin xəttilik xüsusiyyətinə əsasən:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Bilirik ki, \(Q\)-nin gözlənilən qiyməti \(Q\) normal paylanmanın orta qiymətidir:
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Beləliklə,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \dəfə 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Nəticə
Normal paylanmada təsadüfi dəyişənin gözlənilən dəyəri həmişə paylanmanın orta qiymətinə (µ) bərabərdir. Yuxarıdakı nümunə məsələlər xəttilik xüsusiyyətindən istifadə edərək gözlənilən dəyəri hesablamaq üçün müxtəlif şərtləri nümayiş etdirir. Bu əsas konsepsiyanı başa düşmək statistika və ehtimal nəzəriyyəsində normal paylanma problemlərini həll etməyi asanlaşdırır.
Normal paylanma statistikada çox vacibdir, çünki o, hipotez testi, parametr qiymətləndirməsi və digər müxtəlif statistik nəticələr daxil olmaqla geniş praktik tətbiqlərdə istifadə olunur. Bu paylanmanın gözlənilən dəyərini yaxşı başa düşmək məlumatların təhlilində vacib ilk addımdır.
Ümid edirəm ki, bu məqalə normal paylanmada gözlənilən dəyərin aydın və faydalı izahını, eləcə də müvafiq nümunə suallarını və müzakirələrini təqdim edir.
