Nümunə Suallar və Dairələr və Tangenslərin Müzakirələri
Dairələr və tangenslər, xüsusən də orta məktəb səviyyəsində riyaziyyatda tez-tez müzakirə olunan iki mövzudur. Tangenslərin anlayışını və dairələrə tətbiqini anlamaq həndəsə haqqında biliklərinizi dərinləşdirmək üçün çox vacibdir. Bu məqalədə oxuculara daha dərindən başa düşmək üçün dairələr və tangenslər haqqında nümunə məsələlər və müzakirələr təqdim olunacaq.
Dairələr və Tangenslər Nəzəriyyəsinə Giriş
Dairə
Dairə, dairənin mərkəzi adlanan sabit bir nöqtədən bərabər məsafədə yerləşən bir müstəvidə nöqtələr toplusudur. Bu sabit məsafə dairənin radiusu kimi tanınır. Riyazi olaraq, bir dairə aşağıdakı tənliklə təyin edilə bilər:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
burada \((a, b)\) dairənin mərkəzinin koordinatları, \(r\) isə radiusdur.
Tangens
Dairəyə toxunan xətt, dairəyə tam bir nöqtədə toxunan xəttdir. Bu nöqtə toxunma nöqtəsi adlanır. Tangensin əsas xüsusiyyəti, dairənin mərkəzindən toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyar olmasıdır.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Sual 1: Tangens Xəttinin Tənliyinin Təyin Edilməsi
Sual:
Mərkəzi nöqtədə (2, 3)) və radiusu 5 olan dairə verilmişdir. Koordinatları nöqtədə ((5, 7)) olan dairəyə toxunan xəttin tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
Addım 1: \( P \) nöqtəsinin əslində dairənin üzərində olduğundan əmin olun.
\(P (5, 7) \) nöqtəsinin mərkəzi \(2, 3) \) və radiusu \(5 \) olan bir dairə üzərində olub olmadığını yoxlamaq üçün \(P \) nöqtəsinin koordinatlarını dairənin tənliyinə daxil edin:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Bərabərlik doğru olduğundan, \(P \) nöqtəsi dairənin üzərində yerləşir.
Addım 2: \( (2, 3) \) və \( (5, 7) \) nöqtələrindən keçən radiusun qradiyentini təyin edin:
\[ m_{radius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Addım 3: Radiusun qradiyentinə perpendikulyar olan tangensin qradiyenti (hasilin qradiyenti -1-dir):
\[ m_{tangens} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Addım 4: \( P (5, 7) \) nöqtəsindən istifadə edərək toxunan xəttin tənliyini təyin edin:
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Sadələşdirin:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Beləliklə, tangens xəttinin tənliyi belədir:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Sual 2: Xətt tənliyindən toxunma nöqtəsinin təyini
Sual:
\(x^2 + y^2 = 25 \) tənliyi və \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) xətti verilmiş dairə. Xətt ilə dairə arasındakı toxunma nöqtəsini təyin edin.
Müzakirə:
Addım 1: Xəttin tənliyini dairənin tənliyi ilə əvəz edin:
Dairənin tənliyi:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Dairə tənliyinə \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) əvəz edin:
\[ x^2 + \soft(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Addım 2: Tənliyi sadələşdirin:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Addım 3: Kvadrat düsturdan istifadə edərək kökləri tapmaq:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Tangensiya nöqtəsinə əsaslanan düzgün bir \( x \) seçimi (yalnız bir \( x \) tangensiya nöqtəsi yaradacaq):
\[ x = \frac{141.501}{50} \təqribən 2.83 \]
\[ x \təqribən 2.83 \]
Addım 4: \( y \)-ni xəttin tənliyinə \(x \)-ni əvəz edərək \( y \)-ni əldə edin:
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \təqribən 2.12 + 2 \]
\[ y \təqribən 4.12 \]
Beləliklə, y = y^2 + 2 ^) xətti ilə y^2 + y^3 = 25 ^) dairəsi arasındakı toxunma nöqtəsi y^4 + y^2.83 = 4.12 ^)-dir.
Nəticə
Dairələr və tangenslər anlayışlarını mənimsəmək həndəsənin əsaslarını anlamağı və riyazi tənliklərdən istifadə edərək məsələləri həll etmək bacarığını əhatə edir. Yuxarıdakı kimi məsələlər tələbələrə nəzəriyyəni daha konkret vəziyyətlərdə tətbiq etməyi öyrənməyə kömək edir. Ardıcıl təcrübə ilə tələbələrdən problemləri daha asan başa düşmələri və həll etmələri gözlənilir.
