Məhsul Momenti Korrelyasiyasının Nümunə Sualları və Müzakirələri
Məhsul-Moment Korrelyasiyası, həmçinin Pearson Korrelyasiyası kimi də tanınır, iki dəyişən arasındakı xətti əlaqənin gücünü və istiqamətini ölçmək üçün istifadə olunan statistik metoddur. Bu metod akademik tədqiqatlardan və biznes təhlilindən tutmuş təbiət elmlərindəki təcrübələrin qiymətləndirilməsinə qədər müxtəlif sahələrdə faydalıdır. Bu məqalədə Məhsul-Moment Korrelyasiyasının hesablanması üçün bir neçə nümunə problem və onların həlləri müzakirə olunacaq.
Pendahuluan
Nümunə suallarına keçməzdən əvvəl, Hasil Moment Korrelyasiyasının əsas konsepsiyasını başa düşmək yaxşı olar. Pearson korrelyasiya əmsalını (\(r\)) hesablamaq üçün istifadə olunan ümumi düstur belədir:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Harada:
– \( n \) məlumat cütlərinin sayıdır.
– \( \sum{XY} \), \(X \) və \(Y \)-nin hasillərinin cəmidir.
– \( \sum{X} \) dəyişənlərinin cəmidir, \( X \).
– \( \sum{Y} \) dəyişənlərinin cəmidir \( Y \).
– \( \sum{X^2} \), \( X \) dəyişəninin kvadratlarının cəmidir.
– \( \sum{Y^2} \), \( Y \) dəyişəninin kvadratlarının cəmidir.
Pirson korrelyasiya əmsalı (\(r \)) həmişə -1 ilə 1 arasındadır. Müsbət korrelyasiya hər iki dəyişənin eyni istiqamətdə hərəkət etdiyini, mənfi korrelyasiya isə bir dəyişənin artdıqca digərinin azaldığını göstərir. Əgər \(r = 0 \) olarsa, onda iki dəyişən arasında xətti korrelyasiya yoxdur.
Nümunə Sual 1
Tarix
Aşağıda 5 şagirdin riyaziyyat və fizika imtahanlarının nəticələri verilmişdir:
| Tələbə | Riyaziyyat (X) | Fizika (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Həll etmək üçün addımlar
1. Vacib Komponentlərin Hesablanması:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Düstura daxil edin:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Nəticələrin hesablanması:
– Sayğac: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Məxrəc:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \təqribən 0.633 \]
Beləliklə, riyaziyyat və fizika test balları arasındakı Pearson korrelyasiya əmsalı 0.633-dür ki, bu da iki dəyişən arasında orta dərəcədə müsbət korrelyasiya olduğunu göstərir.
Nümunə Sual 2
Tarix
Aşağıda şirkətin 6 aylıq satış dəyəri və reklam xərcləri haqqında məlumatlar verilmişdir:
| Ay | Reklam (X) | Satışlar (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Həll etmək üçün addımlar
1. Vacib Komponentlərin Hesablanması:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Düstura daxil edin:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Nəticələrin hesablanması:
– Sayğac: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Məxrəc:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \təqribən 0.981 \]
Beləliklə, reklam xərcləri ilə satış dəyəri arasındakı Pirson korrelyasiya əmsalı 0.981-dir ki, bu da iki dəyişən arasında çox güclü müsbət korrelyasiya olduğunu göstərir.
Nəticə
Pearson korrelyasiya əmsalı (\(r\)) iki dəyişən arasındakı xətti əlaqəni anlamaq üçün çox faydalı bir vasitədir. Verilən nümunələrdə \(r\) dəyərini necə hesablamağı və şərh etməyi görürük. Daha yüksək korrelyasiya (1-ə və ya -1-ə yaxın) daha güclü bir əlaqəni, daha aşağı korrelyasiya (0-a yaxın) isə daha zəif bir əlaqəni göstərir. Qeyd etmək vacibdir ki, korrelyasiya səbəb-nəticə əlaqəsini nəzərdə tutmur; sadəcə iki dəyişən arasında bir əlaqənin olduğunu göstərir.
