Nöqtənin dairəyə nisbətən mövqeyini müzakirə edən nümunə suallar
Bir nöqtənin dairəyə nisbətən mövqeyinin müəyyən edilməsi, xüsusən də dairələrin öyrənilməsində əsas həndəsədə vacib bir mövzudur. Bu məqalədə, bir nöqtənin dairəyə nisbətən mövqeyi ilə bağlı bir neçə nümunə məsələni və onların izahlarını müzakirə edəcəyik. Bu, praktik tətbiqlər vasitəsilə anlayışı aydınlaşdırmağa kömək edəcək.
Pendahuluan
Nümunə suallarına keçməzdən əvvəl, dairə üzərindəki nöqtənin üç mümkün mövqeyini xatırlayaq:
1. Dairənin içərisində: Əgər bir nöqtənin dairənin mərkəzinə olan məsafəsi dairənin radiusundan kiçikdirsə.
2. Dairənin xaricində: Əgər nöqtənin dairənin mərkəzinə olan məsafəsi dairənin radiusundan böyükdürsə.
3. Dairə üzərində: Əgər nöqtədən dairənin mərkəzinə qədər olan məsafə dairənin radiusu ilə eynidirsə.
Riyazi olaraq, radiusu r olan (a, b) nöqtəsində mərkəzləşmiş dairəyə nisbətən (T(x_1, y_1)) nöqtəsinin mövqeyi, (T(x_1, y_1))-ni dairənin tənliyi ilə müqayisə etməklə müəyyən edilə bilər, yəni:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Əgər tənlikdə \(x_1\) və \(y_1\)-nin yerləşdirilməsinin nəticəsi aşağıdakı qiyməti verirsə:
– Nöqtə \(r^2\)-dən kiçikdirsə, dairənin içərisindədir.
– Nöqtə \(r^2\)-dən böyükdürsə, dairənin xaricindədir.
– \(r^2\ ilə eyni şəkildə, nöqtə dairənin üzərindədir.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Sual 1
\(T(3, 4)\) nöqtəsinin dairəyə nisbətən mövqeyini \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \) tənliyi ilə təyin edin.
Müzakirə:
İlk addım dairənin tənliyini qiymətləndirmək və (T(3, 4)) nöqtəsindən dairənin mərkəzinə ((1, 2)) qədər olan məsafəni tapmaqdır.
1. Dairənin mərkəzini və radiusunu təyin edin:
Dairənin tənliyi: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Dairənin mərkəzi (\(a, b\)): (1, 2)
– Dairənin radiusu (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. \(T(3, 4)\) nöqtəsi ilə \( (1, 2) \) dairəsinin mərkəzi arasındakı məsafəni hesablayın:
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
\(2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \) dəyəri (\(5\)-dən az).
3. Nəticə:
Karena \( 2\sqrt{2} < 5 \), maka titik \( T(3, 4) \) berada di dalam lingkaran.
Soal 2
Sebuah lingkaran memiliki pusat di titik \( (0, 0) \) dan jari-jari 7. Tentukan kedudukan titik \(P(5, 6)\) terhadap lingkaran.
Pembahasan:
1. Persamaan Lingkaran:
Persamaan lingkaran dengan pusat di (0, 0) dan jari-jari 7 adalah:
\[
x^2 + y^2 = 49
\]
2. Menghitung jarak dari titik \( P(5, 6) \) ke pusat lingkaran \( (0, 0):
\[
D = \sqrt{(5 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}
\]
Nilai \( \sqrt{61} \approx 7.81 \).
3. Kesimpulan:
Karena \( \sqrt{61} > 7 \), maka titik \( P(5, 6) \) berada di luar lingkaran.
Sual 3
\(x^2 + y^2 = 5 \) tənliyi ilə \(M(2, -1)\) nöqtəsinin dairəyə nisbətən mövqeyini təyin edin.
Müzakirə:
1. \(M(2, -1)\) nöqtəsindən \( (0, 0) dairəsinin mərkəzinə qədər olan məsafəni hesablayın:
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. \(D\) məsafəsini dairənin radiusu ilə müqayisə edin:
Dairənin radiusu (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. Nəticə:
\( \sqrt{5} = \sqrt{5} \) olduğundan, \( M(2, -1) \) nöqtəsi dairənin üzərindədir.
Sual 4
Mərkəzi \( (4, 3) \) nöqtəsində olan dairənin radiusu \(\sqrt{10}\)-ə bərabərdir. \( N(7, 7) \) nöqtəsinin bu dairəyə nisbətən mövqeyini göstərin.
Müzakirə:
1. Dairəvi tənlik:
Mərkəzi \( (4, 3) \) və radiusu \( \sqrt{10} \) olan dairənin tənliyi belədir:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. \(N(7, 7) \) nöqtəsindən \((4, 3) \) dairəsinin mərkəzinə qədər olan məsafəni hesablayın:
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Nəticə:
\( 5 > \sqrt{10} \) olduğundan, \(N(7, 7) \) nöqtəsi dairənin xaricindədir.
Bağlanır
Bir nöqtənin dairənin mərkəzindən məsafəsini necə hesablamağı və onu radiusla müqayisə etməyi başa düşməklə, bir nöqtənin dairəyə nisbətən mövqeyini asanlıqla müəyyən edə bilərik. Bu məqalədəki müzakirənin konsepsiyanı və bir nöqtənin dairəyə nisbətən mövqeyi ilə bağlı problemlərin necə həll ediləcəyini aydın şəkildə anlamağı təmin etməsi gözlənilir.
Təcrübədə bu nöqtələrin mövqeyini bilmək həndəsi analiz, qrafik dizayn və mühəndislik də daxil olmaqla müxtəlif riyazi tətbiqlərdə son dərəcə faydalıdır. Buna görə də, bu konsepsiyanın mənimsənilməsi diqqətli diqqət və dərindən başa düşülməyə layiq olan vacib bir təməldir.
