Artan, Azalan və Stasionar Funksiyaların Nümunə Sualları və Müzakirələri
Riyazi funksiyalar kifayət qədər dərin bir mövzudur və müxtəlif xüsusiyyətlərlə doludur, bunlardan biri də onların artan, azalan və ya stasionar vəziyyətlər baxımından necə təhlil edilə bilməsidir. Bir funksiyanın müəyyən bir intervalda artan, azalan və ya sabit olub olmadığını bilmək iqtisadiyyat, fizika və mühəndislik də daxil olmaqla riyaziyyatın müxtəlif tətbiqlərində vacibdir. Bu məqalədə artan, azalan və stasionar funksiyalarla bağlı nümunələr və onların müzakirəsi əhatə olunacaq.
Artan funksiyalar, azalan funksiyalar və stasionar funksiyalar nədir?
1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta. Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \).
– \(x \in (-1, 2) \) üçün: \(x = 0 \) götürün
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
\(f'(0) < 0 \) olduğundan, \(f(x) \) \( (-1, 2) \) intervalında azalır. - \(x \in (2, \infty) \) üçün: \(x = 3 \) \[f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] götürək, \(f'(3) > 0 \) olduğundan, \(f(x) \) \( (2, \infty) \) intervalında artır.
Beləliklə, \(f(x) \) funksiyası \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) intervalında artır.
Nümunə Məsələ 2: Azalan Funksiya İntervalının Təyin Edilməsi
√(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) funksiyası verilmişdir. Funksiyanın azaldığı intervalları təyin edin!
Müzakirə:
1. Addım 1: İlk törəməni tapın:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. Addım 2: Kritik nöqtəni müəyyən edin:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Beləliklə, kritik nöqtələr \(x = 0 \) və \(x = \frac{3}{2} \)-dir.
3. Addım 3: Aralıqdakı ilk törəmənin işarəsini təyin edin:
– \( x \in (-\infty, 0) \) üçün: \( x = -1 \) götürün
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \).
- Untuk \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Ambil \( x = 1 \)
\[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \]
Karena \( g'(1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (0, \frac{3}{2}) \).
- Untuk \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ambil \( x = 2 \)
\[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \]
Karena \( g'(2) > 0 \), maka \( g(x) \) naik pada interval \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
Beləliklə, \(g(x) \) funksiyası \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) intervalında azalır.
Nümunə Sual 3: Sükunətdə Funksiyanın Aralığının Təyin Edilməsi
\( h(x) = 7 \) funksiyası verildikdə, funksiyanın stasionar olduğu intervalları təyin edin!
Müzakirə:
\(h(x) = 7 \) kimi sabit bir funksiya bütün \(x \) üçün sıfırın birinci törəməsinə malikdir:
\[ h'(x) = 0 \]
Birinci törəmə həmişə sıfır olduğundan, funksiya bütün oblastda stasionardır, ona görə də deyə bilərik ki, \(h(x) = 7 \) funksiyası bütün həqiqi ədədlər üzərində stasionardır, bu da interval qeydində \( (-\infty, \infty) \)-dir.
Nəticə
Funksiyanın artan, azalan və stasionar hallarının intervallarını anlamaq funksional analizin vacib hissəsidir. Yuxarıdakı nümunələr vasitəsilə bu intervalları tapmaq üçün lazım olan əsas anlayışları və addımları əhatə etdik. Bu bilik riyaziyyatın müxtəlif praktik və nəzəri tətbiqlərində son dərəcə faydalıdır.
