Artan, Azalan və Stasionar Funksiyaların Nümunə Sualları və Müzakirələri
Riyazi funksiyalar kifayət qədər dərin bir mövzudur və müxtəlif xüsusiyyətlərlə doludur, bunlardan biri də onların artan, azalan və ya stasionar vəziyyətlər baxımından necə təhlil edilə bilməsidir. Bir funksiyanın müəyyən bir intervalda artan, azalan və ya sabit olub olmadığını bilmək iqtisadiyyat, fizika və mühəndislik də daxil olmaqla riyaziyyatın müxtəlif tətbiqlərində vacibdir. Bu məqalədə artan, azalan və stasionar funksiyalarla bağlı nümunələr və onların müzakirəsi əhatə olunacaq.
Artan funksiyalar, azalan funksiyalar və stasionar funksiyalar nədir?
1. Artan Funksiya: Əgər \(f(x) \) funksiyası \(x_1 < x_2 \) olan \( I \) daxilində hər \( x_1 \) və \( x_2 \) üçün \( f(x_1) \leq f(x_2) \) alırıqsa, \( f(x) \) funksiyasının \( I \) intervalında artan olduğu deyilir. 2. Azalan Funksiya: Əksinə, \( f(x) \) funksiyasının \( x_1 < x_2 \) olan \( I \) daxilində hər \( x_1 \) və \( x_2 \) üçün \( f(x_1) \geq f(x_2) \) alırıqsa, \( I \) intervalında azalan olduğu deyilir. 3. Stasionar Funksiya: Əgər \(f(x) \) funksiyası \(I \) intervalında stasionar adlanır, əgər \(I \)-də hər \(x \) üçün funksiya eyni qiymətə malikdirsə, yəni \(I \)-də hər \(x \) üçün \(f(x) = c \), burada c sabitdir. Nümunə Sual 1: Artan Funksiyanın İntervalının Təyin Edilməsi \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \) funksiyası verilmişdir. Funksiyanın artdığı intervalı təyin edin! Müzakirə: Funksiyanın artdığı intervalı təyin etmək üçün funksiyanın ilk törəməsini tapmalı və sonra törəmənin işarəsini təhlil etməliyik. 1. Addım 1: İlk törəməni tapın: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Addım 2: Kritik nöqtələri təyin edin: Kritik nöqtələr ilk törəmənin sıfır və ya təyin olunmamış olduğu nöqtələrdir. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Bütün tənliyi 6-ya bölün: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Bu kvadrat tənliyi faktorlara ayırırıq: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Beləliklə, kritik nöqtələr \( x = 2 \) və \( x = -1 \)-dir. 3. Addım 3: Kritik nöqtələrin yaratdığı intervalda birinci törəmənin işarəsini təyin edin: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) və \( (2, \infty) \) intervalları üzərində \( f'(x) \) üçün işarə cədvəli yaradacağıq. - \( x \in (-\infty, -1) \) üçün: \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] götürün, \( f'(-2) > 0 \) olduğundan, \( f(x) \) \( (-\infty, -1) \) intervalında artır.
– \(x \in (-1, 2) \) üçün: \(x = 0 \) götürün
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
\(f'(0) < 0 \) olduğundan, \(f(x) \) \( (-1, 2) \) intervalında azalır. - \(x \in (2, \infty) \) üçün: \(x = 3 \) \[f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] götürək, \(f'(3) > 0 \) olduğundan, \(f(x) \) \( (2, \infty) \) intervalında artır.
Beləliklə, \(f(x) \) funksiyası \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) intervalında artır.
Nümunə Məsələ 2: Azalan Funksiya İntervalının Təyin Edilməsi
√(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) funksiyası verilmişdir. Funksiyanın azaldığı intervalları təyin edin!
Müzakirə:
1. Addım 1: İlk törəməni tapın:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. Addım 2: Kritik nöqtəni müəyyən edin:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Beləliklə, kritik nöqtələr \(x = 0 \) və \(x = \frac{3}{2} \)-dir.
3. Addım 3: Aralıqdakı ilk törəmənin işarəsini təyin edin:
– \( x \in (-\infty, 0) \) üçün: \( x = -1 \) götürün
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
\(g'(-1) < 0 \) olduğundan, onda \(g(x) \) \( (-\infty, 0) \). intervalında azalır. - \(x \in (0, \frac{3}{2}) \) üçün: \(x = 1 \) \[g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] götürək, \(g'(1) < 0 \) olduğundan, onda \(g(x) \) \( (0, \frac{3}{2}) \) intervalında azalır. - \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \) üçün: \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] götürək, \( g'(2) > 0 \) olduğundan, \( g(x) \) \( (\frac{3}{2}, \infty) \) intervalında artır.
Beləliklə, \(g(x) \) funksiyası \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) intervalında azalır.
Nümunə Sual 3: Sükunətdə Funksiyanın Aralığının Təyin Edilməsi
\( h(x) = 7 \) funksiyası verildikdə, funksiyanın stasionar olduğu intervalları təyin edin!
Müzakirə:
\(h(x) = 7 \) kimi sabit bir funksiya bütün \(x \) üçün sıfırın birinci törəməsinə malikdir:
\[ h'(x) = 0 \]
Birinci törəmə həmişə sıfır olduğundan, funksiya bütün oblastda stasionardır, ona görə də deyə bilərik ki, \(h(x) = 7 \) funksiyası bütün həqiqi ədədlər üzərində stasionardır, bu da interval qeydində \( (-\infty, \infty) \)-dir.
Nəticə
Funksiyanın artan, azalan və stasionar hallarının intervallarını anlamaq funksional analizin vacib hissəsidir. Yuxarıdakı nümunələr vasitəsilə bu intervalları tapmaq üçün lazım olan əsas anlayışları və addımları əhatə etdik. Bu bilik riyaziyyatın müxtəlif praktik və nəzəri tətbiqlərində son dərəcə faydalıdır.
