Kvadratik Funksiyaları Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Kvadratik funksiyalar riyaziyyatda, xüsusən də ikinci dərəcəli riyaziyyatda müzakirə olunan vacib bir mövzudur. Bu funksiyanın ümumi forması \(f(x) = ax^2 + bx + c \), burada \(a\), \(b\) və \(c\) \(a \neq 0\ sabitləridir. Bu məqalədə kvadratik funksiyalarla bağlı bir neçə nümunə məsələsi və tələbələrin bu anlayışı daha yaxşı başa düşmələrinə kömək etmək üçün ətraflı izahatlar müzakirə olunacaq.
1. Kvadratik funksiyanın köklərinin təyini
Sual 1: Aşağıdakı kvadratik funksiyanın köklərini tapın:
\[ f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \]
Müzakirə:
Kvadrat funksiyanın köklərini tapmaq üçün kvadrat düsturundan istifadə edə bilərik, yəni:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\(f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \) kvadratik funksiyasında \(a\), \(b\) və \(c\)-nin qiymətlərini müəyyən edə bilərik:
– \( a = 2 \)
– \( b = -3 \)
– \( c = -5 \)
Addımlar aşağıdakılardır:
1. Diskriminantı tapın (\( \Delta \)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ \Delta = 9 + 40 \]
\[ \Delta = 49 \]
2. Kvadrat düsturdan istifadə edərək kökləri tapın:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]
Beləliklə, iki həll yolu əldə edirik:
\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Beləliklə, funksiyanın kökləri \(x = 2.5 \) və \(x = -1 \)-dir.
2. Kvadratik funksiyanın təpə nöqtələrinin təyini
Sual 2: Aşağıdakı kvadratik funksiyanın təpə nöqtəsini təyin edin:
\[ g(x) = -x^2 + 4x – 3 \]
Müzakirə:
Kvadratik funksiyanın təpəsi aşağıdakı düsturla təyin edilə bilər:
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]
\( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \) kvadratik funksiyasında \(a\), \(b\) və \(c\) qiymətlərini müəyyən edə bilərik:
– \( a = -1 \)
– \( b = 4 \)
– \( c = -3 \)
Addımlar aşağıdakılardır:
1. Təpə nöqtəsinin \( x \) qiymətini tapın:
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\text{vertex}} = 2 \]
2. \( x_{\text{vertex}} \) funksiyasına əvəz etməklə \( y \)-nin qiymətini tapın:
\[ y_{\text{vertex}} = g(2) \]
\[ y_{\text{vertex}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = 1 \]
Deməli, funksiyanın təpəsi \( (2, 1) \)-dir.
3. Kvadratik Funksiya Qrafikinin Çəkilməsi
Sual 3: Aşağıdakı kvadratik funksiyanın qrafikini çəkin:
\[ h(x) = x^2 – 2x – 3 \]
Müzakirə:
Kvadrat funksiyanın qrafikini çəkməzdən əvvəl, parabolanın kökləri, təpə nöqtəsi və istiqaməti kimi bir neçə vacib məqamı bilməliyik.
Köklərin müəyyən edilməsi
\(h(x) = x^2 – 2x – 3 \) tənliyinin köklərini tapmaq üçün kvadrat düsturdan istifadə edə bilərik:
\[ a = 1 \]
\[ b = -2 \]
\[ c = -3 \]
1. Diskriminantı hesablayın:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ \Delta = 4 + 12 \]
\[ \Delta = 16 \]
2. Kökləri hesablayın:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Beləliklə, iki həll yolu əldə edirik:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Pik Nöqtəsinin Müəyyənləşdirilməsi
3. Təpə düsturundan istifadə edin:
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\text{vertex}} = 1 \]
4. \(y\)-nin qiymətini hesablayın:
\[ y_{\text{vertex}} = h(1) \]
\[ y_{\mətn{vertex}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\mətn{vertex}} = 1 – 2 – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = -4 \]
Beləliklə, təpə nöqtəsi \( (1, -4) \)-dir.
Qrafiklərin çəkilməsi
– Köklər \(x = 3 \) və \(x = -1 \) nöqtələrindədir.
– Təpə nöqtəsi \( (1, -4) \) nöqtəsindədir.
– \( a > 0 \) olduğundan, parabola yuxarıya doğru açılır.
Bu vacib nöqtələri qrafikdə qeyd edin və onlardan keçən parabola çəkin.
Parabolanın köklərini, təpəsini və istiqamətini anlamaqla, kvadrat funksiyanın daha mükəmməl qrafikini çəkə bilərik.
Nəticə
Kvadrat funksiya riyaziyyatda geniş tətbiq olunan fundamental bir anlayışdır. Kvadrat funksiyaları anlamaq, riyaziyyat və tətbiqi elmlərdəki digər anlayışları daha dərindən anlamağımıza kömək edir. Nümunələrlə məşq etməklə və onları həll etmək üçün addımları anlamaqla, kvadrat funksiyaları anlamağımızın daha dərinləşəcəyinə və daha tətbiq olunacağına ümid edilir.
