Nümunə Suallar və İnjektiv, Surjectiv və Bijektiv Funksiyaların Müzakirələri
Riyaziyyatda funksiyanın tərifi və onun faydalılığı çox vaxt maraqlı müzakirə mövzusudur. Bu kontekstdə biz tez-tez inyeksiya, süryektiv və biyektiv funksiyalar kimi terminlərlə qarşılaşırıq. Bu üç növ funksiyanı anlamaq riyazi analiz və onların kompüter elmləri, iqtisadiyyat və fizika kimi müxtəlif sahələrdə praktik tətbiqləri üçün çox vacibdir.
İnjektiv, Surjectiv və Bijektiv Funksiyaları Anlamaq
Nümunə sualları və onların müzakirəsini müzakirə etməzdən əvvəl, əvvəlcə üç funksiyanın təriflərini xatırlayaq.
1. İnyeksiya Funksiyası (Tək-Tək Funksiya): f : A → B funksiyası, A domenindəki hər bir a1 və a2 üçün, əgər f(a1) = f(a2) olarsa, a1 a2-yə bərabər olmalıdırsa, inyeksiya adlanır. Başqa sözlə, inyeksiya funksiyası A domenindəki fərqli elementlərin B kod domenindəki fərqli elementlərə uyğunlaşdırılmasını təmin edir.
2. Surjective Function (Onto Function): Əgər B koddomenindəki hər bir elementin A domenində ona xəritələşdirilmiş ən azı bir elementi varsa, f : A → B funksiyası surjective adlanır. Bu halda, B koddomeninin nə "boş" elementləri, nə də A domenindən olan əksləri yoxdur.
3. Bijektiv Funksiya (Tək-Tək Uyğunluq): f : A → B funksiyası həm inyeksiya, həm də süryektiv olduqda bijektiv adlanır. Bu o deməkdir ki, A domenindəki hər bir elementin B koddomində unikal qarşılığı var və B koddomindəki hər bir elementin də A domenində unikal qarşılığı var.
Nümunə Suallar və Müzakirələr
Sual 1: İnyeksiya funksiyası
Sual:
f(x) = 2x + 3 kimi təyin olunan f: ℝ → ℝ funksiyası verilir. Bu funksiyanın inyeksiya funksiyası olduğunu sübut edin.
Müzakirə:
Bu funksiyanın inyeksiya xarakterli olduğunu sübut etmək üçün, əgər f(a) = f(b) olarsa, onda a = b olduğunu göstərməliyik.
Tutaq ki, f(a) = f(b), deyək ki:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
Hər iki tərəfdən 3-ü çıxın:
\[ 2a = 2b \]
Hər iki tərəfi 2-yə bölün:
\[ a = b \]
f(a) = f(b)-nin a = b-yə səbəb olduğunu göstərdiyimiz üçün f(x) = 2x + 3 funksiyası inyeksiya funksiyasıdır.
Sual 2: Surjective Function
Sual:
g(x) = x^3 kimi təyin olunan g: ℝ → ℝ funksiyası verilir. Bu funksiyanın surjektiv funksiya olduğunu sübut edin.
Müzakirə:
Bu funksiyanın subyektiv olduğunu sübut etmək üçün, ℝ kod domenindəki hər y elementi üçün ℝ domenində g(x) = y olaraq ən azı bir x elementinin olduğunu göstərməliyik.
Tutaq ki, y ∈ ℝ olsun. X-i elə tapmaq istəyirik ki:
\[ x^3 = y \]
\(x = \sqrt[3]{y} \) ifadəsini götürün:
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
ℝ kod domenindəki hər y üçün \(x = \sqrt[3]{y} \) olan x-i tapa bildiyimiz üçün g(x) = x^3 funksiyası surjeektiv funksiyadır.
Sual 3: Bijektiv Funksiyalar
Sual:
h(x) = x – 1 kimi təyin olunan h: ℝ → ℝ funksiyası verilir. Bu funksiyanın bijektiv olduğunu sübut edin.
Müzakirə:
İnyeksiya:
h(x)-in inyeksiya xarakterli olduğunu sübut etmək üçün, h(a) = h(b) olduqda a = b olduğunu göstərməliyik.
Tutaq ki, h(a) = h(b):
\[ a – 1 = b – 1 \]
Hər iki tərəfə 1 əlavə edin:
\[ a = b \]
h(a) = h(b) a = b-yə səbəb olduğundan, h(x) = x – 1 funksiyası inyeksiya funksiyasıdır.
Sübut:
h(x)-in subyektiv olduğunu sübut etmək üçün, ℝ kod domenindəki hər y elementi üçün ℝ domenində h(x) = y olaraq ən azı bir x elementinin olduğunu göstərməliyik.
Tutaq ki, y ∈ ℝ olsun. X-i elə tapmaq istəyirik ki:
\[ x – 1 = y \]
Hər iki tərəfə 1 əlavə edin:
\[x = y + 1 \]
ℝ kod domenindəki hər y üçün x = y + 1 olan bir x tapa bildiyimiz üçün h(x) = x – 1 funksiyası surjeektiv funksiyadır.
h(x) inyeksiya və surjektiv olduğundan, h(x) bijektiv funksiyadır.
Sual 4: Funksiyanın Növünün Müəyyənləşdirilməsi
Sual:
f(x) = 2x kimi təyin olunan f funksiyası verilir: ℕ → ℕ. f-in inyeksiya, surjektiv və ya bijektiv funksiya olduğunu müəyyən edin.
Müzakirə:
İnyeksiya:
Bu funksiyanın inyeksiya xarakterli olduğunu sübut etmək üçün, əgər f(a) = f(b) olarsa, onda a = b olduğunu göstərməliyik.
Tutaq ki, f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
Hər iki tərəfi 2-yə bölün:
\[ a = b \]
Buna görə də, f(x) = 2x inyeksiya funksiyasıdır.
Sübut:
Bu funksiyanın subyektiv olduğunu sübut etmək üçün ℕ kod domenindəki hər y elementi üçün ℕ domenində f(x) = y olması üçün ən azı bir x elementinin olduğunu göstərməliyik.
Lakin nəzərə alın ki, koddomen ℕ (natural ədədlər)-dir, f(x) = 2x isə yalnız cüt ədədlər verir. Tutaq ki, y tək ədəddir, ℕ-də elə bir x yoxdur ki, 2x = y olsun.
Buna görə də, f(x) = 2x surjektiv funksiya deyil.
f(x) surjectiv olmadığı üçün, f(x) də bijectiv deyil.
Yuxarıdakı müxtəlif nümunələrə əsaslanaraq, müxtəlif funksiya təriflərindən funksiya növlərini (injektiv, süryektiv, bijektiv) necə sübut etməyi və müəyyən etməyi görə bilərik. Bu funksiyaları anlamaq riyaziyyatın bir çox aspektlərində və onun real həyatda tətbiqlərində çox vacibdir.
