Normal Paylanma Funksiyasının Nümunə Sualları və Müzakirələri
Normal paylanma, həmçinin Qaus paylanması kimi də tanınır, statistika və məlumat təhlilində ən fundamental ehtimal paylanmalarından biridir. Bu paylanma, orta qiymət ətrafında simmetrik zəng əyrisi ilə xarakterizə olunur və məlumat yayılması onun ətrafındakı dəyərlərin standart sapmasını əks etdirir. Normal paylanma, nəticə statistikasında bir çox anlayışın əsasını təşkil edir və iqtisadiyyat, psixologiya və sosial elmlər də daxil olmaqla müxtəlif sahələrdə geniş istifadə olunur.
Bu məqalədə normal paylanma funksiyasını daha yaxşı başa düşmək üçün bəzi nümunə məsələləri və onların həll yollarını müzakirə edəcəyik.
Normal Paylanmanın Əsas Konsepsiyaları
Normal paylanma iki əsas parametrlə təsvir olunur:
1. Orta (μ): Məlumat dəstinin ortalaması.
2. Standart Sapma (σ): Məlumatların orta qiymət ətrafında nə qədər yayıldığını ölçür.
Normal paylanmanın ehtimal sıxlığı funksiyası aşağıdakı kimidir:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Normal paylanmadan istifadə edərək problemləri həll etmək üçün bəzi əsas addımlar:
1. Z dəyərinin təyini: Z dəyəri, məlumatların standart sapma vahidlərində orta qiymətdən nə qədər uzaq olduğunu göstərən bir ölçüdür və aşağıdakı düsturla hesablanır:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. Z cədvəlindən istifadə: Z cədvəli və ya standart normal paylanma cədvəli, müəyyən bir Z dəyərindən aşağı və ya yuxarı olan məlumatların ehtimalını və ya faizini tapmaq üçün istifadə olunur.
Normal Paylanmanın Nümunə Sualları və Müzakirələri
Sual 1
Bir sinfin orta riyaziyyat test balı 70, standart sapma isə 10-dur. Əgər test balları normal paylanmışdırsa, şagirdlərin neçə faizi 85-dən yuxarı bal toplamışdır?
Müzakirə:
1. Z-balının təyin edilməsi: Əvvəlcə X = 85 üçün Z-balını hesablayın.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. Z Cədvəlinə Baxış: Z cədvəlindən Z = 1.5 üçün ehtimal dəyərini axtarırıq. Z = 1.5 üçün ehtimal dəyəri 0.9332-dir. Bu o deməkdir ki, dəyərlərin 93.32%-i Z = 1.5-dən aşağıdır.
3. Faizin Hesablanması: 85-dən çox bal toplayan tələbələrin faizinə ehtiyacımız olduğundan, 1 – 0.9332 = 0.0668 hesablayırıq.
Beləliklə, tələbələrin 6.68%-i 85-dən yuxarı bal toplayıb.
Sual 2
Bir ölkədə yetkin kişilərin boyu orta hesabla 175 sm və standart sapma 6 sm olmaqla normal bir paylanmaya uyğundur. Boyu 170 sm ilə 180 sm arasında olan kişilərin faizini təyin edin.
Müzakirə:
1. 170 sm üçün Z-balını təyin edin:
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \təqribən -0.83 \]
2. 180 sm üçün Z-balını təyin edin:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \təqribən 0.83 \]
3. Z Cədvəlinə baxın:
– Z = -0.83 üçün ehtimal 0.2033-dür.
– Z = 0.83 üçün ehtimal 0.7967-dir.
4. Faizin hesablanması:
– Boyun 170 sm ilə 180 sm arasında olma ehtimalı 0.7967 – 0.2033 = 0.5934-dür.
– Beləliklə, kişilərin 59.34%-nin boyu 170 sm ilə 180 sm arasındadır.
Sual 3
IQ testi orta qiyməti 100 və standart sapması 15 olan normal paylanmadan istifadə edir. 85-ci persentil daxilində hansı bal var?
Müzakirə:
1. 85-ci persentil üçün Z dəyərini tapmaq: Z cədvəlindən və ya kalkulyatordan istifadə etməklə 85-ci persentil Z = 1.04-ə uyğun gəlir.
2. IQ balının hesablanması:
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = 1.04 \vurma 15 + 100 \]
\[X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
Beləliklə, 85-ci persentil daxilində olan IQ balı 115.6 civarındadır.
Sual 4
Əgər orta məktəb şagirdlərinin idrak test nəticələrinin orta balının 65, standart sapmanın isə 12 olduğu məlumdursa, 25-ci persentildə hansı bal var?
Müzakirə:
1. 25-ci persentil üçün Z dəyərini tapmaq: Z cədvəlindən və ya kalkulyatordan istifadə edərək, 25-ci persentil üçün Z təxminən -0.674-dür.
2. Test ballarının hesablanması:
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = -0.674 \12 + 65-in vurulması \]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \təxminən 56.912 \]
Beləliklə, 25-ci persentildə olan dəyər 56.912 ətrafındadır.
Nəticə
Normal paylanma statistikada məlumatları ehtimal baxımından təhlil etməyə və anlamağa imkan verən vacib bir anlayışdır. Normal paylanma yanaşmasından istifadə edərək faizləri hesablaya, faizlərə əsaslanan müəyyən dəyərləri müəyyən edə və məlumatları orta qiymətlə müqayisə edə bilərik.
Normal paylanma ilə bağlı məsələlərin həlli yalnız imtahanlar və akademik tədqiqatlar üçün faydalı deyil, həm də psixologiya, biznes və sosial elmlər kimi bir çox real həyat sahələrində praktik tətbiqlərə malikdir. Yuxarıdakı nümunələr və müzakirələr vasitəsilə ümid edirik ki, normal paylanma funksiyasını və onu müxtəlif kontekstlərdə necə tətbiq edəcəyinizi daha yaxşı başa düşəcəksiniz.
