Binomial Paylanma Funksiyasını Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Binomial paylanma, iki mümkün nəticəsi olan bir sıra müstəqil sınaqlardan ibarət olan bir təcrübədəki uğurların sayını təsvir edən diskret ehtimal paylanmasıdır: uğur və uğursuzluq. Hər bir sınaq sınaq adlanır və binomial paylanma tez-tez bir sıra müstəqil sınaqlardakı uğurların sayının maraq doğuran hallarda istifadə olunur. Bu məqalədə binomial paylanmanın əsas anlayışlarını müzakirə edəcək və nümunələr və həllər təqdim edəcəyik.
Binomial Paylanma Funksiyasının Əsas Konsepsiyaları
Nümunə suallarına və müzakirəsinə keçməzdən əvvəl, binomial paylanma ilə bağlı bəzi əsas anlayışları müzakirə edək.
1. Tərif: Binomial paylanma, hər bir sınaqda iki mümkün nəticənin olduğu 'n' müstəqil sınaqlardakı uğurların cəmi kimi müəyyən edilir: uğur (p ehtimalı ilə) və ya uğursuzluq (q = 1 – p ehtimalı ilə).
2. Ehtimal Funksiyası: Binomial paylanmanın ehtimal funksiyası belədir:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Harada:
– \( P(X = k) \) n sınaqda k uğur qazanma ehtimalıdır.
– \( \binom{n}{k} \) n ədədinin k-ni götürdüyü kombinasiyadır və bu da \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) kimi təyin olunur.
– \( p \) hər sınaqda uğur ehtimalıdır.
– \( (1-p) \) hər sınaqda uğursuzluq ehtimalıdır.
3. Gözlənilən Dəyər və Varians:
– Binomial paylanmanın gözlənilən dəyəri (orta dəyəri) \( \mu = np \)-dir.
– Binomial paylanmanın dispersiyası \( \sigma^2 = np(1-p) \)-dir.
İndi isə, daha dərindən başa düşmək üçün bu anlayışları nümunə məsələsində tətbiq edək.
Nümunə Sual 1: Binomial Paylanmanın Əsas Hesablamaları
Sual:
Bir şirkət hər bir komponentin keyfiyyət testindən keçmə ehtimalı 0.95 olan elektron komponentlər istehsal edir. Əgər 10 komponent istehsal olunubsa, tam 8 komponentin keyfiyyət testindən keçmə ehtimalını hesablayın.
Müzakirə:
Bu problemi həll etmək üçün binomial paylanma düsturundan istifadə edə bilərik. Əvvəlcə aşağıdakı parametrləri müəyyən edirik:
– \( n \) (sınaqların ümumi sayı) = 10
– \( k \) (uğurların sayı) = 8
– \( p \) (uğur ehtimalı) = 0.95
– \( q \) (uğursuzluq ehtimalı) = 1 – 0.95 = 0.05
Sonra bu dəyərləri binomial paylanma düsturuna əvəz edin:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Əvvəlcə, \( \binom{10}{8} \) kombinasiyasını hesablayın:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Sonra, \( (0.95)^8 \) və \( (0.05)^2 \) ehtimallarını hesablayın:
\[
(0.95)^8 \təqribən 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Nəhayət, bütün bu dəyərləri vuraraq əldə edin:
\[
P(X = 8) = 45 \dəfə 0.6634 \dəfə 0.0025 \təqribən 0.0744
\]
Beləliklə, 10 komponentdən tam 8-nin keyfiyyət testindən keçmə ehtimalı təxminən 0.0744 və ya 7.44%-dir.
Nümunə Sual 2: Kumulyativ Ehtimal
Sual:
Yenə də eyni şirkətdə, 10 komponentdən ən azı 9-unun keyfiyyət testindən keçmə ehtimalını hesablayın.
Müzakirə:
Bu problemi həll etmək üçün kümülatif ehtimalı hesablamalıyıq. 10 komponentdən ən azı 9-nun testdən keçmə ehtimalı, \(P(X \geq 9) \) hesabladığımız deməkdir ki, bu da aşağıdakı kimi yazıla bilər:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Binomial paylanma düsturundan istifadə edərək:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Əvvəlcə hər bir hal üçün kombinasiyanı hesablayın:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Daha sonra, \(P(X = 9) \) və \(P(X = 10) \) üçün ehtimalları hesablayın:
\[
P(X = 9) = 10 dəfə (0.95)^9 dəfə 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \təqribən 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \dəfə 0.6302 \dəfə 0.05 \təqribən 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \təqribən 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
\(P(X \geq 9) \) üçün ümumi ehtimal:
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \təqribən 0.9138
\]
Beləliklə, 10 komponentdən ən azı 9-nun keyfiyyət testindən keçmə ehtimalı təxminən 0.9138 və ya 91.38%-dir.
Nümunə Sual 3: Gözlənilən Dəyər və Varians
Sual:
0.95 keçmə ehtimalı ilə istehsal olunmuş 10 komponentdən keyfiyyət testindən keçən komponentlərin sayının gözlənilən dəyərini və dispersiyasını hesablayın.
Müzakirə:
Aşağıdakı düsturdan istifadə edin:
– Gözlənilən dəyər (orta) \( \mu = np \)
– Dispersiya \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\(n = 10 \) və \(p = 0.95 \) ilə:
\[
\mu = 10 \dəfə 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \dəfə 0.95 \dəfə 0.05 = 0.475
\]
Beləliklə, keyfiyyət testindən keçən komponentlərin sayının gözlənilən dəyəri 9.5, dispersiyası isə 0.475-dir.
Nəticə
Yuxarıdakı üç nümunə məsələsi vasitəsilə müxtəlif vəziyyətlər üçün binomial paylanmadan istifadə edərək ehtimalın necə hesablanacağını müzakirə etdik: dəqiq ehtimalın, kumulyativ ehtimalın hesablanması və gözlənilən dəyərin və dispersiyanın hesablanması. Binomial paylanma haqqında bilik istehsal, tibbi tədqiqatlar və sosial statistika kimi müxtəlif sahələrdə faydalıdır, burada iki mümkün nəticə ilə təkrarlanan təcrübələrin nəticələri qərar qəbul etməyə kömək etmək üçün təhlil edilə bilər. Ümid edirik ki, təqdim olunan nümunə məsələlər və müzakirələr binomial paylanma haqqında daha çox məlumat əldə etməyinizə kömək edəcəkdir.
