Normal Paylanma haqqında müzakirə sualının nümunəsi
Normal paylanma, həmçinin Qaus paylanması kimi də tanınır, statistikada ən çox istifadə edilən ehtimal paylanmasıdır. Bu paylanma simmetrik zəng formasına malikdir, bu da məlumatların orta dəyər ətrafında düzüldüyünü və ekstremal dəyərlərin (orta dəyərdən uzaq dəyərlər) ehtimalının aşağı olduğunu göstərir.
Bu məqalədə normal paylanma ilə bağlı müxtəlif nümunə məsələləri və onların həlli yollarını müzakirə edəcəyik. Əvvəlcə bəzi əsas anlayışları təqdim edəcəyik və daha mürəkkəb nümunələrə keçəcəyik.
Normal Paylanmanın Əsasları
Normal paylanma iki parametrə malik davamlı paylanmadır: orta və standart sapma (SD). Orta paylanmanın mərkəzini, standart sapma isə paylanmanın enini təyin edir.
Normal paylanmanın vacib xüsusiyyətləri:
1. Simmetriya: Normal paylanma orta qiymətə nisbətən simmetrikdir.
2. Empirik Qayda (Empirik Qayda):
– Məlumatların təxminən 68%-i orta qiymətin bir standart sapması daxilindədir.
– Məlumatların təxminən 95%-i orta qiymətdən iki standart sapma daxilindədir.
– Məlumatların təxminən 99.7%-i orta qiymətdən üç standart sapma daxilindədir.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Nümunə Sual 1: Z-balının hesablanması
Sual: İmtahanda orta balı 70, standart sapma isə 10 olur. Tələbə 80 bal alır. Tələbənin Z-balı nədir?
Həll yolu:
Z-bal, bir dəyərin orta səviyyədən neçə standart sapma olduğunu göstərən bir ölçüdür.
Z-bal düsturu:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Harada:
– \( X \) müşahidə olunan dəyərdir.
– \( \mu \) orta qiymətdir.
– \( \sigma \) standart sapmadır.
Məlumdur:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Düsturun tətbiqi:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Beləliklə, tələbənin Z-balı 1-dir, bu da 80 balın orta səviyyədən bir standart sapma yuxarı olması deməkdir.
Nümunə Sual 2: Müəyyən Bir Dəyərin Ehtimalı
Sual: Orta qiyməti 100 və standart sapması 15 olan normal paylanmada, 85-dən aşağı bir dəyər tapma ehtimalı nədir?
Həll yolu:
Addımlar:
1. \(X = 85 \) dəyəri üçün Z balını hesablayın:
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. -1 Z balına uyğun ehtimalı tapmaq üçün Z cədvəlindən və ya statistik kalkulyatordan istifadə edin. Z cədvəlində Z balının -1 olma ehtimalı təxminən 0.1587-dir.
Beləliklə, 85-dən aşağı bir dəyər tapma ehtimalı 0.1587 və ya 15.87%-dir.
Nümunə Sual 3: Empirik Qaydalardan İstifadə
Sual: Məlumdur ki, məktəblərdə riyaziyyat test ballarının paylanması orta qiyməti 75 və standart sapma 8 olan normal paylanmaya uyğundur. Şagirdlərin neçə faizi 67 ilə 83 arasında bal toplayıb?
Həll yolu:
Addımlar:
1. 67 və 83 dəyərləri üçün Z-balını hesablayın:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Empirik qaydalara görə, orta hesabla -1 SD ilə +1 SD arasındakı dəyərlər əhalinin təxminən 68%-ni əhatə edir.
Beləliklə, 67 ilə 83 arasında bal toplayan tələbələrin nisbəti təxminən 68% təşkil edib.
Nümunə Sual 4: Faizlərdən Dəyərlərin Hesablanması
Sual: Əgər bir ölkədə yetkin kişilərin orta boyu 175 sm, standart sapma isə 7 sm-dirsə, 90-cı persentildə hansı boy göstəricisi var?
Həll yolu:
Addımlar:
1. 90-cı persentilə uyğun Z-balını tapın. Z-cədvəlinə əsasən, 0.9000-ə ən yaxın Z-bal təxminən 1.28-dir.
2. \(X\)-nin dəyərini hesablamaq üçün düsturdan istifadə edin:
\[ X = \mu + Z \times \sigma \]
\[ X = 175 + 1.28 \v 7 \]
\[X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
Beləliklə, 90-cı persentildə boy təxminən 183.96 sm-dir.
Nümunə Sual 5: Müəyyən Bir Aralığın Ehtimalı
Sual: Yenidoğulmuş körpənin çəkisinin paylanmasının orta çəkisi 3.5 kq və standart sapması 0.5 kq olan normal paylanmaya uyğun olduğunu nəzərə alsaq, körpənin çəkisinin 3 kq ilə 4 kq arasında olma ehtimalı nədir?
Həll yolu:
Addımlar:
1. 3 kq və 4 kq dəyərləri üçün Z balını hesablayın:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Z cədvəlinə əsasən -1 ilə 1 arasında Z-balının ehtimalı təxminən 0.6826 və ya 68.26%-dir.
Beləliklə, 3 kq ilə 4 kq arasında çəkidə olan körpənin doğulması ehtimalı təxminən 68.26% -dir.
Nəticə
Normal paylanma statistikada çox vacib olan və bir çox real tətbiqlərə malik fundamental bir anlayışdır. Bu məqalədə normal paylanmanın əsas anlayışlarını izah etdik və anlayışımızı dərinləşdirmək üçün bir neçə nümunəni həll etdik.
Normal paylanmanı anlamaq təkcə statistika üçün deyil, həm də psixologiya, iqtisadiyyat və digər sosial elmlər kimi müxtəlif praktik sahələr üçün vacibdir. Kifayət qədər təcrübə ilə normal paylanma problemlərinin həlli daha intuitiv ola və məlumatlara əsaslanan qərar qəbuletməyə kömək edə bilər.
