Həndəsi Silsilələri Müzakirə Edən Nümunə Suallar
Həndəsi ardıcıllıqlar riyaziyyatda tez-tez orta məktəbdə tədris olunan fundamental bir anlayışdır. Bu ardıcıllıqlar, hər biri əvvəlki ədədin "nisbət" adlanan sabitə hasilinə bərabər olan bir sıra ədədlərdən ibarətdir. Bu məqalədə oxucuların bu anlayışı daha yaxşı başa düşmələrinə kömək etmək ümidi ilə bir neçə nümunə məsələ və həndəsi ardıcıllıqların müzakirələri əhatə olunacaq.
Həndəsi Seriyaları Anlamaq
Həndəsi ardıcıllıq, ilk ədədin (a) sabit nisbətə (r) vurulması ilə əmələ gələn ədədlər ardıcıllığıdır. Ümumiyyətlə, həndəsi ardıcıllığın ümumi forması belədir:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Burada:
– “a” ardıcıllığın ilk həddidir.
– “r” bir həddin əvvəlki həddə nisbətidir.
– “n” ardıcıllıqdakı n-ci həddir.
Nümunə Suallar və Müzakirə
Həndəsi ardıcıllıqlar haqqında daha çox məlumat əldə etmək üçün bəzi nümunə məsələləri müzakirə edək.
Nümunə Sual 1
Sual:
Birinci həddi (a) 3, nisbəti (r) isə 2 olan həndəsi ardıcıllıq verilir. Təyin edin:
1. Ardıcıllığın 5-ci həddi.
2. Ardıcıllığın ilk 6 üzvünün cəmi.
Müzakirə:
1. 5-ci həddi (U5) həndəsi ardıcıllığın n-ci həddi üçün düsturdan istifadə etməklə hesablamaq olar, yəni:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
a = 3, r = 2 və n = 5-nı düstura yerləşdirin:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Beləliklə, ardıcıllığın 5-ci həddi 48-dir.
2. Həndəsi ardıcıllığın ilk 6 həddi (S6) cəmi ilk n həddi cəmi üçün düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər, yəni:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
a = 3, r = 2 və n = 6-nı düstura yerləşdirin:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
Beləliklə, ardıcıllığın ilk 6 üzvünün cəmi 189-dur.
Nümunə Sual 2
Sual:
Həndəsi ardıcıllığın 3-cü həddi 27, 5-ci həddi isə 243-dür. Birinci həddin (a) və nisbətin (r) qiymətini təyin edin.
Müzakirə:
U3 = 27 və U5 = 243 verilir. Həndəsi ardıcıllığın n-ci həddi üçün düsturdan istifadə edərək:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3 üçün:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
U5 üçün:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
(1) və (2) tənliklərini müqayisə edərək aşağıdakıları aradan qaldırın:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ və ya } r = -3 \]
r-in qiymətini (1) tənliyinə yerləşdirin:
Əgər \(r = 3 \):
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Əgər \(r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Beləliklə, birinci həd (a) 3-dür və nisbət (r) 3 və ya -3 ola bilər.
Nümunə Sual 3
Sual:
Birinci həddi (a) 8, nisbəti (r) isə 1/2 olarsa, aşağıdakı həndəsi silsilələrin sonsuz cəmini tapın.
Müzakirə:
Həndəsi seriyanın sonsuz cəmi aşağıdakı düsturla hesablana bilər:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
a = 8 və r = 1/2-ni düstura yerləşdirərək:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Beləliklə, həndəsi silsilənin sonsuz cəmi 16-dır.
Nümunə Sual 4
Sual:
Həndəsi ardıcıllığın 2-ci həddi 12, 4-cü həddi isə 108-dir. Ardıcıllığın nisbətini və birinci həddini təyin edin.
Müzakirə:
\(U_2 = 12 \) və \(U_4 = 108 \) verilir. Həndəsi ardıcıllığın n-ci həddi üçün düsturdan istifadə edərək:
\(U_2 \) üçün:
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
\(U_4 \) üçün:
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
(1) və (2) tənliklərini müqayisə edərək aşağıdakıları aradan qaldırın:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ və ya } r = -3 \]
r-in qiymətini (1) tənliyinə yerləşdirin:
Əgər \(r = 3 \):
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Əgər \(r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
Beləliklə, birinci həd (a) 4 və ya -4, nisbət (r) isə 3 və ya -3 ola bilər.
Nəticə
Həndəsi ardıcıllıqlar müxtəlif sahələrdə tez-tez istifadə olunan vacib bir riyazi anlayışdır. Əsasları anlamaqla və problem həll etmə bacarıqlarını tətbiq etməklə, ümid edirik ki, bu anlayışı anlamaqda və tətbiq etməkdə daha təcrübəli ola bilərik. Bu məqalədə oxucuların həndəsi ardıcıllıqları daha dərindən öyrənmələrinə və anlamalarına kömək etmək üçün bir neçə nümunə məsələ və müzakirələr yer alır. Ümid edirik ki, bu, faydalı olacaq!
