مبادئ ومعادلة برنولي
عندما نركب دراجة نارية بسرعة عالية، تنتفخ ملابسنا من الخلف. إذا كنت لا تستطيع ركوب دراجة نارية بعد، فانتبه إلى والديك أو أصدقائك الذين يركبونها. عادةً ما تنتفخ ملابسهم من الخلف عند القيادة بسرعة. أحيانًا، عندما تهب الرياح بقوة، قد يُغلق باب المنزل تلقائيًا، حتى وإن كانت الرياح تهب خارج المنزل، بينما الباب في الداخل.
يمكن تفسير ذلك باستخدام مبدأ برنولي. اكتشف دانيال برنولي (1700-1782) مبدأً يمكن استخدامه لتفسير بعض الأمور المذكورة أعلاه.
مبدأ برنولي
ينص مبدأ برنولي على أنه حيثما تكون سرعة تدفق السائل عالية، يكون ضغط السائل منخفضًا. وعلى العكس، إذا كانت سرعة تدفق السائل منخفضة، يرتفع الضغط. عندما تتحرك دراجة نارية بسرعة، تكون سرعة الهواء أمامك وبجانبك عالية، وبالتالي ينخفض ضغط الهواء. ولأن الجزء الخلفي من جسمك محجوب بالجزء الأمامي منه، فإن سرعة الهواء خلفك لا تتغير إلى عالية (مباشرة خلف جسمك). ونتيجة لذلك، يزداد ضغط الهواء خلفك. وبسبب هذا التفاوت في ضغط الهواء، حيث يكون الضغط أعلى مباشرة خلف جسمك، يدفع الهواء قميصك إلى الخلف، مما يجعله يبدو منتفخًا من الخلف.
ماذا عن باب يُغلق تلقائيًا عندما تهب الرياح بقوة في الخارج؟ يتحرك الهواء في الخارج أسرع من الهواء في الداخل. ونتيجة لذلك، يكون ضغط الهواء في الخارج أقل من ضغط الهواء في الداخل. وبسبب فرق الضغط هذا، حيث يكون ضغط الهواء في الداخل أعلى، يُدفع الباب إلى الخارج. بعبارة أخرى، ينتقل الباب من منطقة ذات ضغط هواء أعلى إلى منطقة ذات ضغط هواء أقل.
معادلة برنولي
سبق أن تعرفنا على مبدأ برنولي. وقد طور برنولي هذا المبدأ كمياً. ولاشتقاق معادلة برنولي، نفترض جريانًا مستقرًا وطبقيًا للسائل، وعدم انضغاطه، ولزوجته المنخفضة، والتي يمكن إهمالها.
في مناقشة معادلة الاستمرارية، تعلمنا أن معدل تدفق المائع يتغير تبعًا لمساحة المقطع العرضي لأنبوب التدفق. وبناءً على مبدأ برنولي الموضح سابقًا، يتغير ضغط المائع أيضًا تبعًا لمعدل تدفقه، كما يتغير تبعًا لارتفاعه. ويمكن استنتاج العلاقة بين الضغط ومعدل التدفق وارتفاع التدفق من معادلة برنولي.
تُعدّ معادلة برنولي بالغة الأهمية نظرًا لإمكانية استخدامها في تحليل حركة الطائرات، ومحطات الطاقة الكهرومائية، وأنظمة الأنابيب، وغيرها. ولتعميم معادلة برنولي التي سنشتقها، سنفترض أن المائع يتدفق عبر أنبوب تدفق ذي مساحات مقطع عرضي غير متساوية وارتفاعات مختلفة (انظر الشكل أدناه). ولاشتقاق معادلة برنولي، نطبق نظرية الشغل والطاقة على المائع في منطقة أنبوب التدفق. بعد ذلك، سنحسب كمية المائع والشغل المبذول لتحريكه.
يشير اللون المعتم في أنبوب التدفق في الصورة إلى تدفق السائل، بينما يشير اللون الأبيض إلى عدم وجود سائل.
يتدفق السائل في المقطع العرضي 1 (الجانب الأيسر) مسافة L1 ، مما يدفع السائل في المقطع العرضي 2 (الجانب الأيمن) إلى التحرك مسافة L2 . ولأن مساحة المقطع العرضي 2 على الجانب الأيمن أصغر، فإن معدل تدفق السائل على الجانب الأيمن من أنبوب التدفق يكون أكبر (تذكر معادلة الاستمرارية). هذا يُسبب فرقًا في الضغط بين المقطع العرضي 2 (الجانب الأيمن من أنبوب التدفق) والمقطع العرضي 1 (الجانب الأيسر من أنبوب التدفق) - تذكر مبدأ برنولي. يُؤثر السائل على الجانب الأيسر من المقطع العرضي 1 بضغط P1 على السائل على الجانب الأيمن، ويبذل شغلًا مقداره:
ويمكن كتابة المعادلة W 1 على النحو التالي:
W 1 = p 1 A 1 L 1
عند المقطع العرضي 2 (الجانب الأيمن من أنبوب التدفق)، يكون الشغل المبذول على السائل هو:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
تشير الإشارة السالبة إلى أن القوة المؤثرة معاكسة لاتجاه الحركة. لذا، يبذل السائل شغلاً على يمين المقطع 2. بالإضافة إلى ذلك، تبذل قوة الجاذبية شغلاً على السائل أيضاً. في الحالة المذكورة أعلاه، تُنقل كتلة معينة من السائل من المقطع 1 إلى المقطع 2، حيث L1 = A1L1 ، وحجم السائل في المقطع 1 يساوي حجم السائل في المقطع 2. الشغل المبذول بواسطة الجاذبية هو :
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
تُعزى الإشارة السالبة إلى تدفق السائل لأعلى، عكس اتجاه الجاذبية. وبالتالي، فإن إجمالي الشغل المبذول على السائل، كما هو موضح في الشكل أعلاه، هو:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
تنص نظرية الشغل والطاقة على أن الشغل الكلي المبذول على نظام ما يساوي التغير في طاقته الحركية. وبالتالي، يمكننا استبدال الشغل (W) بالتغير في الطاقة الحركية (EK 2 ‒ EK 1 ).
يمكننا إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
إك 2 - إك 1 = ف 1 أ 1 ل 1 - ف 2 أ 2 لتر 2 + ملغ 1 - ملغ 2
½ mv² - ½ mv¹ = P₁A₁L₁ - P₂A₂L₂ + mgh₁ - mgh₂
كتلة السائل المتدفق لمسافة L1 عند المقطع العرضي A1 تساوي كتلة السائل المتدفق لمسافة L2 ( عند المقطع A2 ) . كتلة من السائل، ولتكن m ، لها حجم يساوي A1L1 و A2L2 ، حيث A1L1 = A2L2 ( لأن L2 أطول من L1 ).
والآن نستبدل، أو نستبدل m في المعادلة أعلاه بـ m = ρ AL:
هذه هي معادلة برنولي. لقد اشتققنا معادلة برنولي بناءً على مبدأ الشغل والطاقة، لذا فهي شكل من أشكال قانون حفظ الطاقة.
المعلومات:
الضغط = P
ρ = كثافة السائل
v = سرعة تدفق السائل
g = تسارع الجاذبية الأرضية
h = ارتفاع أنبوب التدفق/الماسورة من سطح الأرض
يمكن أن يشير الجانبان الأيسر والأيمن من معادلة برنولي أعلاه إلى أي نقطتين على طول أنبوب التدفق، لذا يمكننا إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي:
تنص هذه المعادلة على أن المجموع الكلي للكميات في المعادلة له نفس القيمة في جميع أنحاء أنبوب التدفق.
والآن دعونا نراجع معادلة برنولي لبعض الحالات.
معادلة برنولي للسوائل الساكنة
تُعدّ معادلة برنولي حالة خاصة للسوائل الساكنة. عندما يكون السائل ساكنًا، فإنه لا يمتلك سرعة. وبالتالي، v₁ = v₂ = 0. في حالة السائل الساكن، يمكن صياغة معادلة برنولي على النحو التالي:
إذا كان h 2 ‐ h 1 = h، فيمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
معادلة برنولي لأنابيب التدفق أو المواسير ذات الارتفاع نفسه
إذا كان ارتفاع أنبوب التدفق أو الأنبوب متساوياً، فإن معادلة برنولي تتغير إلى:
