مادة معادلة الاستمرارية
جرّب فتح صنبور الماء ببطء مع مراقبة تدفق الماء الخارج منه. بمجرد توقف الصنبور عن الدوران، أغلقه جزئيًا بيدك. قارن الآن أي تدفق للماء يكون أكبر: عند إغلاقه جزئيًا أم عند تركه مفتوحًا. إذا كان لديك خرطوم تستخدمه عادةً لري الزهور، دع الماء يتدفق من خلاله. أغلق الخرطوم جزئيًا بيدك أو إصبعك. كلما زاد الجزء المسدود من الخرطوم، زادت سرعة تدفق الماء. وعلى العكس، إذا لم يكن الخرطوم مسدودًا، سيتدفق الماء ببطء. لماذا يحدث هذا؟ لفهم ذلك، يُرجى دراسة معادلة الاستمرارية.
خطوط الانسياب وأنابيب التدفق
لنبدأ بفهم مفهومي خطوط الانسياب وأنابيب التدفق. هذا المفهوم مهم لأنه سيساعدك على فهم معادلة الاستمرارية.
تبسيط التصميم
انظر إلى الصورة أدناه، الخط الأزرق هو خط الانسياب.
في التدفق المستقر، تبقى سرعة كل جسيم من جسيمات المائع ثابتة عند نقطة معينة، ولتكن النقطة أ. وعند مرورها بالنقطة ب، قد تتغير سرعة جسيمات المائع. ومع ذلك، عند وصولها إلى النقطة ب، تستمر جسيمات المائع التي تليها في التدفق بنفس سرعة جسيمات المائع التي سبقتها. وينطبق الأمر نفسه عند الوصول إلى النقطة ج، وهكذا. خط الانسياب هو المنحنى الذي يربط النقاط أ، ب، وج.
أنبوب التدفق
باختصار، يمكننا رسم كل خط انسيابي يمر بكل نقطة في تدفق المائع. عند دراسة التدفق المستقر، تتشكل أنابيب التدفق من خلال عدد من الخطوط الانسيابية التي تمر بزاوية معينة على مساحة سطحية افتراضية. لا تتقاطع جزيئات المائع مع بعضها، بل تكون متوازية دائمًا، ويشبه أنبوب التدفق أنبوبًا ثابت الشكل. يدخل المائع من أحد طرفي الأنبوب ويخرج منه من الطرف الآخر.
مدين
يشير معدل التدفق إلى حجم السائل المتدفق عبر مقطع عرضي معين خلال فترة زمنية محددة. ويمكن التعبير عنه رياضياً كما يلي:
لتعزيز فهمك، دعنا نستخدم مثالاً. لنفترض أن سائلاً يتدفق عبر أنبوب. عادةً ما تكون الأنابيب أسطوانية الشكل ولها مساحة مقطع عرضي محددة. كما أن للأنبوب طولاً.
عندما يتدفق السائل في الأنبوب لمسافة L، فإن حجم السائل في الأنبوب يساوي V = AL (حيث V = حجم السائل، A = مساحة المقطع العرضي، وL = طول الأنبوب). ولأن السائل يقطع مسافة معينة خلال تدفقه في الأنبوب على طول L، يمكننا القول إن مقدار تدفق السائل هو:
بما أن v = s/t = L/t —> L = vt، فإن المعادلة أعلاه تتغير إلى:
وبالتالي، عندما يتدفق السائل عبر أنبوب له مساحة مقطع عرضي وطول معينين لفترة زمنية معينة، فإن مقدار تصريف السائل (Q) يساوي مساحة سطح المقطع العرضي (A) مضروبة في سرعة تدفق السائل (v).
معادلة الاستمرارية
ضع في اعتبارك تدفق السوائل في أنبوب بأقطار مختلفة، كما هو موضح في الشكل أدناه.
تُظهر هذه الصورة تدفق السائل من اليسار إلى اليمين (يتدفق السائل من أنبوب ذي قطر كبير إلى أنبوب ذي قطر صغير). الخطوط المنقطة هي خطوط الانسياب.
شرح الصورة: أ1 = مساحة المقطع العرضي لجزء الأنبوب ذي القطر الكبير، أ2 = مساحة المقطع العرضي لجزء الأنبوب ذي القطر الصغير، v1 = سرعة تدفق السائل في قسم الأنبوب ذي القطر الكبير، v2 = سرعة تدفق السائل في قسم الأنبوب ذي القطر الصغير، L = المسافة التي يقطعها السائل.
في مقدمة ديناميكا الموائع، تم توضيح أننا في ديناميكا الموائع نتناول تدفق الموائع غير القابلة للانضغاط، وغير اللزجة، وغير المضطربة، والمستقرة. في التدفق المستقر، تكون سرعة جزيئات المائع عند نقطة ما مساوية لسرعة جزيئات المائع الأخرى التي تمر عبر تلك النقطة. كما أن تدفقات المائع لا تتقاطع (خطوط الانسياب متوازية). لذلك، يجب أن تكون كتلة المائع الداخلة من أحد طرفي الأنبوب مساوية لكتلة المائع الخارجة من الطرف الآخر. إذا دخل مائع ذو كتلة معينة أنبوبًا ذا قطر كبير، فسيخرج من الأنبوب ذي القطر الصغير بكتلة ثابتة.
والآن، انظر إلى صورة الأنبوب أعلاه. انظر إلى الجزء ذي القطر الكبير من الأنبوب والجزء ذي القطر الصغير.
خلال فترة زمنية معينة، يتدفق مقدار معين من السائل عبر جزء من أنبوب ذي قطر كبير (A).1) بقدر ما هو L1 (L1 = الخامس1 حجم السائل المتدفق هو V1 = أ1 L1 = أ1 v1 t. خلال نفس الفترة الزمنية، تتدفق كمية أخرى من السائل عبر جزء من الأنبوب بقطر أصغر (A).2) بقدر ما هو L2 (L2 = الخامس2 حجم السائل المتدفق هو V2 = أ2 L2 = أ2 v2 t.
معادلة الاستمرارية للسوائل غير القابلة للانضغاط (غير قابل للضغط)
لنبدأ بدراسة حالة المائع غير القابل للانضغاط. في المائع غير القابل للانضغاط، تكون كثافة المائع، أو كتلته، ثابتة عند كل نقطة يمر بها. كتلة المائع المتدفق في أنبوب مساحة مقطعه العرضي A هي1 (قطر الأنبوب الكبير) خلال فترة زمنية معينة هو:
وبالمثل، فإن كتلة السائل المتدفق في أنبوب ذي مساحة مقطع عرضي A2 (قطر الأنبوب الصغير) خلال فترة زمنية معينة هو:
باعتبار أن كتلة السائل الداخلة في التدفق المستقر هي نفسها كتلة السائل الخارجة، فإن:
m1 = م2
ρ أ1 v1 t = ρ A2 v2 (كثافة السائل والفاصل الزمني متساويان، لذا فهما يلغيان بعضهما البعض)
A1 v1 = أ2 v2
لذا، في السوائل غير القابلة للانضغاط، تنطبق معادلة الاستمرارية:
A1 v1 = أ2 v2 — المعادلة 1
المعلومات:
A1 = مساحة المقطع العرضي 1، A2 = مساحة المقطع العرضي 2، v1 = سرعة تدفق السائل عند المقطع العرضي 1، v2 = سرعة تدفق السائل عند المقطع العرضي 2، معدل التدفق الحجمي V/t يُعرف أيضًا باسم معدل التصريف
توضح المعادلة 1 أن معدل التدفق الحجمي، المعروف أيضًا بالتصريف، يكون ثابتًا عند كل نقطة على طول الأنبوب أو قناة التدفق. كلما قلّ مقطع الأنبوب، زاد معدل تدفق السائل؛ وعلى العكس، كلما زاد مقطع الأنبوب، انخفض معدل تدفق السائل.
عندما نغلق الصنبور جزئيًا، يزداد تدفق الماء مقارنةً بإغلاقه جزئيًا. ويعود ذلك إلى انخفاض مساحة المقطع العرضي للصنبور عند إغلاقه جزئيًا، مما يزيد من معدل تدفق الماء (يتدفق السائل بسرعة أكبر). وينطبق الأمر نفسه على الخراطيم. مع ذلك، من المهم ملاحظة أن معدل التدفق الحجمي يظل ثابتًا في جميع نقاط مسار الماء، سواءً كان الصنبور مغلقًا جزئيًا أم لا. إذن، ما يتغير هو معدل تدفق السائل.
ماذا عن تدفق المياه في النهر؟ تتميز الأجزاء العميقة من النهر بمساحة مقطع عرضي أكبر من الأجزاء الضحلة، لذا يكون معدل تدفق المياه في الأجزاء العميقة أقل منه في الأجزاء الضحلة. إذا رأيتَ جريانًا هادئًا جدًا للنهر، فهذا يعني أنه عميق. أما إذا أصبح النهر فجأة سريع الجريان، فهذا يعني أن ذلك الجزء ضحل بالتأكيد. ومع ذلك، فإن معدل تدفق حجم المياه يبقى ثابتًا دائمًا، سواء في الأجزاء العميقة أو الهادئة من النهر.
معادلة الاستمرارية للسوائل القابلة للانضغاط (قابل للانضغاط)
في حالة السوائل القابلة للانضغاط (قابل للانضغاطكثافة المائع ليست ثابتة دائمًا. بعبارة أخرى، تتغير كثافة المائع عند انضغاطه. إذا حذفنا كثافة المائع من معادلة المائع غير القابل للانضغاط، فإنها تبقى موجودة في هذه الحالة. باستخدام المعادلة المشتقة سابقًا كدليل، دعونا نشتق معادلة المائع القابل للانضغاط.
باعتبار أن كتلة السائل الداخلة في التدفق المستقر هي نفسها كتلة السائل الخارجة، فإن:
m1 = م2
ρ أ1 v1 t = ρ A2 v2 t
الفترة الزمنية لتدفق السائل متساوية، لذا يمكن حذفها. تصبح المعادلة كالتالي:
ρ أ1 v1 = ρ A2 v2 → المعادلة 2
هذه هي معادلة المائع القابل للانضغاط. والفرق الوحيد يكمن في كثافة المائع. فعندما ينضغط المائع، تتغير كثافته. وعلى العكس، عندما يكون المائع غير قابل للانضغاط، تبقى كثافته ثابتة ويمكن حذفها.
مثال على السؤال 1:
يتدفق الماء عبر أنبوب قطره 10 سم بسرعة 2 م/ث. ما هو معدل تصريف الماء؟
مناقشة
من المعروف أن:
قطر الأنبوب = 10 سم (هذا هو القطر الداخلي للأنبوب)
نصف قطر الأنبوب (r) = 5 سم = 0,05 م
سرعة الماء = 2 م/ث
سأل: مدين
الجواب:
Q = A v
Q = ( π r2) (2 م/ث)
Q = (3,14)(0,05 م)2 (2 م / ث)
Q = (3,14)(0,0025 م2)(2 م/ث)
س = 0,0157،XNUMX م3 / س
مثال على السؤال 2:
أنبوب ماء قطره 20 سم موصول بأنبوب آخر قطره 10 سم. إذا كان معدل تدفق الماء في الأنبوب ذي القطر 20 سم يساوي 4 م/ث، فما هو معدل تدفق الماء في الأنبوب ذي القطر 10 سم؟
مناقشة
من المعروف أن:
القطر 1 = 20 سم (نق)1 = 10 سم = 0,1 م)
v1 = 4 م / ث
القطر 2 = 10 سم (نق)2 = 5 سم = 0,05 م)
سأل: v1
الجواب:
Q1 = س2
A1 v1 = أ2 v2
(π r12) (4 م/ث) = (π r22) (ف2)
(0,1 م)2 (4 م/ث) = (0,05 م)2 (v2)
(0,01 م2)(4 م/ث) = (0,0025 م2)(v2)
(0,04 م3 /s) = (0,0025 م2)(v2)
v2 = 16 م / ث
