حركة المقذوف

مقال عن حركة المقذوفات وأمثلة محلولة.

السرعة الابتدائية (v_o) ومركبة السرعة الابتدائية (v_ox و v_oy)

جسم يتحرك حركة مكافئة بسرعة ابتدائية ثابتة. ولأن الحركة المكافئة هي مزيج من حركات أفقية ورأسية، فإن السرعة الابتدائية لها أيضاً مركبتان: أفقية ورأسية.

إذا تحرك الجسم بشكل مكافئ كما في الشكلين 1 و3، فسيتم حساب السرعة الابتدائية في الاتجاه الأفقي (v _ox ) والسرعة الابتدائية في الاتجاه الرأسي (v _oy ) باستخدام المعادلة التالية:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

إذا كان الجسم يتحرك بشكل مكافئ كما في الشكل 2، فإن v _o = v _ox (v _oy = 0)

السرعة (v)_x و v_y) والموقع (س و ص)

يتم حساب السرعة في الاتجاهين الأفقي والرأسي خلال فترة زمنية معينة باستخدام المعادلة التالية:

v _x = v _ox = ثابت ( حركة خطية منتظمة )

v _y = v _oy + gt أو v _y ² = v _oy ² + 2 gh (حركة السقوط الحر)

يتم حساب موضع الأجسام في الاتجاهين الأفقي (x) والرأسي (y) في فترة زمنية معينة باستخدام المعادلة التالية:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

محصلة السرعة (v) والموضع (h)

يتم حساب السرعة المحصلة عند فترة زمنية محددة باستخدام المعادلة التالية:

يتم حساب اتجاه الأجسام في فترة زمنية معينة باستخدام المعادلة التالية:

ملاحظة:

1. يُعتبر المكون الأفقي للحركة المكافئة حركة خطية منتظمة، لذا فإن vox = vx ثابت دائمًا

٢. يُنظر إلى المركبة الرأسية للحركة المكافئة على أنها حركة سقوط حر، لذا إذا تحرك الجسم حركة مكافئة، كما في الشكلين ١ و٣، فإن المركبة الرأسية لسرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوي صفرًا (v_{_y} = ٠). إذا قذفتَ كرةً رخاميةً رأسيًا لأعلى عند أقصى ارتفاع، فإن الجسم يبقى ساكنًا للحظة (v_y = ٠) قبل أن يهبط. لذلك، فإن سرعة الجسم المتحرك حركةً مكافئةً عند أقصى ارتفاع = v_{_x} = v_{_ox}

3. إذا تحرك الجسم حركةً مكافئة كما هو موضح في الشكل 2، فإن المركبة الرأسية للحركة المكافئة تُعتبر حركة سقوط حر. أما إذا تحرك الجسم حركةً مكافئة كما في الشكلين 1 و3، فإن المركبة الرأسية للحركة المكافئة تُعتبر حركة رأسية صاعدة.

أمثلة على المسائل:

1. أُطلقت رصاصة أفقياً بسرعة ابتدائية قدرها 20 م/ث. إذا كان ارتفاع البندقية 5 أمتار فوق سطح الأرض، فاحسب:

(أ) مدة الطيران

(ب) أقصى ارتفاع

(ج) المسافة الأفقية

(د) سرعة الرصاصة لحظة اصطدامها بالأرض

حل:

يتم تحليل الحركة في الاتجاه الأفقي مثل الحركة الخطية المنتظمة، بينما يتم تحليل الحركة في الاتجاه الرأسي مثل حركة السقوط الحر.

معروف:

v_{_ox} = 20 م/ث، v _{_oy} = 0 م/ث، h = 5 م، g = 9.8 م/ث^²

أ) مدة الطيران

الحل هو تحديد الفترة الزمنية (t) في حركة السقوط الحر.

المعطيات: v _{_oy} = 0 م/ث، h = 5 م، g = 9.8 م/ث^²

مطلوب: ت

ب) أقصى ارتفاع

أقصى ارتفاع = h = 5 أمتار.

ج) المسافة الأفقية (د)

الحل يشبه تحديد المسافة في الحركة الخطية المنتظمة

المعطيات: _السرعة الابتدائية = 20 م/ث، الزمن = ثانية واحدة

مطلوب: د

د = ع ت

المسافة = (20 م/ث)(1 ث) = 20 م

د) السرعة لحظة اصطدام الرصاصة بالأرض

v _tx = v _ox = 20 م/ث

v _ty = ؟

أولاً، نحسب السرعة النهائية في الاتجاه الرأسي (vty). يشبه الحل تحديد السرعة النهائية لحركة السقوط الحر.

المعطيات: v _{_oy} = 0، g = 9.8 م/ث^² ، t = 1 ثانية

مطلوب: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 م/ث² ⁾ (1 ث)

v _t = 9.8 م/ث

سرعة الرصاصة عند اصطدامها بالأرض:

اتجاه الرصاصة:

لأن v _tx في اتجاه المحور السيني الموجب (إلى اليمين) و v _ty في اتجاه المحور الصادي السالب (إلى الأسفل)،

يكون اتجاه الرصاصة عند اصطدامها بالأرض -26.1 ^درجة بالنسبة للمحور السيني الموجب (انظر الشكل أدناه).

2. أطلق المدفع رصاصة بزاوية 30 ^درجة مع الأفق بسرعة 60 م/ث. المطلوب:

(أ) أقصى ارتفاع

(ب) سرعة الرصاصة عند أقصى ارتفاع

(ج) مدة الطيران

(د) المسافة الأفقية

(هـ) سرعة الرصاصة لحظة اصطدامها بالأرض. لنفترض أن الأرض مستوية. 🙂

حل:

يتم تحليل الحركة في الاتجاه الأفقي مثل الحركة الخطية المنتظمة، ويتم تحليل الحركة في الاتجاه الرأسي مثل الحركة الرأسية الصاعدة.

المعطيات: v _o = 60 م/ث، θ = 30 ^درجة.

استنادًا إلى البيانات المعروفة، نقوم أولاً بحساب المكونات الرأسية (vo _oy ) والأفقية (vo _ox ) للسرعة الأولية (vo ₎.

أ) أقصى ارتفاع (ح)

الحل يشبه تحديد أقصى ارتفاع في الحركة الرأسية الصاعدة.

معروف:

v _ثور = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 م/ث

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 م/ث

أ) أقصى ارتفاع (ح)

الحل يشبه تحديد أقصى ارتفاع في الحركة الرأسية الصاعدة.

معروف:

v _oy = 30 م/ث (هذه هي السرعة الابتدائية للرصاصة)

v _ty = 0 م/ث (عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة الرأسية للرصاصة = 0 م/ث. هذه هي السرعة النهائية.)

g = – 9.8 م/ ^ث²

مطلوب: ح

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 ساعة

900 = 19.6 ساعة

ح = 900 / 19.6

h = 45.9 متر

أقصى ارتفاع وصلت إليه الرصاصة = 45.9 مترًا.

ب) السرعة عند أقصى ارتفاع

عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة في الاتجاه الرأسي تساوي صفرًا. عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة في الاتجاه الأفقي فقط. وتساوي هذه السرعة عند أقصى ارتفاع السرعة الابتدائية في الاتجاه الأفقي، وهي 52.2 م/ث. ويكون اتجاه السرعة في الاتجاه الأفقي ثابتًا دائمًا، أي في اتجاه المحور السيني الموجب (إذا كانت حركة الجسم موصوفة في الرسم التوضيحي أعلاه).

ج) الوقت في الجو

الحل يشبه تحديد الفترة الزمنية (t) في مناقشة الحركة الرأسية الصاعدة.

معروف:

v _oy = 30 م/ث (هذه هي السرعة الابتدائية للرصاصة في الاتجاه الرأسي)

g = – 9.8 م/ ^ث²

h = 0 م (عندما تعود الرصاصة إلى الأرض، تكون إزاحة الرصاصة في الاتجاه الرأسي = 0 م)

مطلوب: ت

h = _v₀t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 م/ ^ث² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 ت

t = 30 / 4.9

ر = 6.12 ثانية

زمن التحليق = 6.12 ثانية

د) المسافة الأفقية (د)

الحل يشبه تحديد المسافة (d) في الحركة الخطية المنتظمة.

معروف:

v _ox = 52.2 م/ث

ر = 6.12 ثانية

مطلوب: د

المسافة = السرعة × الزمن = (52.2 م/ث) × (6.12 ثانية) = 319.5 م

هـ) السرعة عند اصطدام الرصاصة بالأرض

v _tx = v _ox = 52.2 م/ث

v _ty = ؟

أولاً، نحسب السرعة النهائية في الاتجاه الرأسي (v _ty ). الحل هو تحديد السرعة النهائية للحركة الرأسية الصاعدة.

المطلوب: v _{_oy} = 30 م/ث، g = -9.8 م/ث^² ، t = 6.12 ثانية

مطلوب: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 م/ث

تشير الإشارة السالبة إلى أن اتجاه السرعة النهائية هو نحو الأسفل. لاحظ أن السرعة الابتدائية في الاتجاه الرأسي تساوي السرعة النهائية في الاتجاه الرأسي.

سرعة الرصاصة لحظة اصطدامها بالأرض:

اتجاه الرصاصة:

بما أن v _tx في اتجاه المحور السيني الموجب (إلى اليمين) و vty في اتجاه المحور الصادي السالب (إلى الأسفل)،

اتجاه سرعة الرصاصة عندما تصطدم بالأرض هو -30 ^درجة حول المحور السيني الموجب (انظر الشكل أدناه).

3. قُذفت كرة من حافة مبنى ارتفاعه 50 مترًا بسرعة ابتدائية قدرها 10 م/ث. إذا قُذفت الكرة بزاوية 30 درجة مع الأفق، فاحسب:

(أ) الفترة الزمنية التي تصل فيها الكرة إلى الأرض

(ب) سرعة الكرة لحظة اصطدامها بالأرض

(ج) تُقاس المسافة الأفقية التي يمكن أن تصل إليها الكرة من حافة المبنى

(د) أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة

حل:

أولاً، نقوم بحساب المكون الرأسي (voy ₎ والمكون الأفقي (vox ₎ للسرعة الابتدائية (vo ₎.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 م/ث)(0.5) = 5 م/ث

أ) الفترة الزمنية التي تصل فيها الكرة إلى الأرض

الحل يشبه تحديد الفترة الزمنية (t) في حركة رأسية صاعدة. يُختار مقدار المتجه الصاعد موجبًا، ومقدار المتجه الهابط سالبًا. تُختار نقطة انطلاق الكرة كنقطة مرجعية. قيمة h سالبة لأن سطح الأرض يقع أسفل النقطة المرجعية، وقيمة g سالبة لأن اتجاه تسارع الجاذبية الأرضية نحو الأسفل.

معروف:

v _oy = 5 م/ث، h = – 5 م، g = – 9.8 م/ ^ث²

مطلوب: ت

h = _v₀t + ½ ^gt²

-5 = 5t + ½ (-9.8)t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

استخدم الصيغة التربيعية:

زمن التحليق = الفترة الزمنية منذ قذف الكرة وحتى وصولها إلى الأرض = 1.64 ثانية.

ب) سرعة الكرة لحظة اصطدامها بسطح الأرض

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 م/ث

v _ty = ؟

أولاً، نحسب السرعة النهائية في الاتجاه الرأسي (v _ty ). الحل يشبه تحديد السرعة النهائية في الحركة الرأسية الصاعدة.

المعطيات: v _{_oy} = 5 م/ث، g = -9.8 م/ث^² ، t = 1.64 ثانية

مطلوب: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 م/ث

تشير الإشارة السالبة إلى أن اتجاه السرعة النهائية هو نحو الأسفل.

سرعة الرصاصة لحظة اصطدامها بالأرض:

اتجاه سرعة الرصاصة = اتجاه حركة الرصاصة عند اصطدامها بالأرض:

سرعة الرصاصة لحظة اصطدامها بالأرض:

لأن vtx في اتجاه المحور السيني الموجب (إلى اليمين) و vty في اتجاه المحور الصادي السالب (إلى الأسفل)،

يكون اتجاه الرصاصة عند اصطدامها بالأرض -52 درجة حول المحور السيني الموجب (انظر الشكل أدناه).

ج) تُقاس المسافة الأفقية التي يمكن أن تصل إليها الكرة من حافة المبنى

الحل يشبه تحديد المسافة المقطوعة (d) في الحركة الخطية المنتظمة.

المعطيات: الزمن = 1.64 ثانية، السرعة الأفقية ₌ 8.7 م/ث

مطلوب: د

المسافة = السرعة × الزمن = (8.7 م/ث) × (1.64 ث) = 14.3 م

د) أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة

المعطيات: v _oy = 5 م/ث، v _ty = 0 م/ث ( المركبة الرأسية للسرعة عند أقصى ارتفاع = 0 م/ث)، g = -9.8 م/ ^ث².

مطلوب: ح

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 م/ث = (5 م/ث) ² + 2(-9.8 م/ث ² )(ح)

0 م/ث = 25 (م/ث) ² + (-19.6 م/ث ² )(ح)

25 (م/ث) ² = -19.6 م/ث 2 (ح)

h = 25 (م/ث) ^² : -19.6 م/ث² ⁼ 1.3 متر

أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة = 1.3 متر فوق قمة المبنى = 1.3 متر + 50 متر = 51.3 متر فوق سطح الأرض.