معادلة عزم القصور الذاتي

3. مسائل وحلول حول معادلة عزم القصور الذاتي

1. أسطوانة صلبة نصف قطرها 8 سم وكتلتها 2 كجم. في المقابل، كرة صلبة نصف قطرها 5 سم وكتلتها 4 كجم. إذا دار الجسمان حول محور يمر بمركزهما، فما نسبة عزم القصور الذاتي للأسطوانة إلى عزم القصور الذاتي للكرة؟

معروف:

نصف قطر الأسطوانة الصلبة (r) = 8 سم = 0.08 م

كتلة الأسطوانة الصلبة (م) = 2 كجم

نصف قطر الكرة الصلبة (r) = 5 سم = 0.05 م

كتلة الكرة الصلبة (m) = 4 كجم

المطلوب: مقارنة عزم القصور الذاتي لأسطوانة وكرة

حل :

صيغة عزم القصور الذاتي لأسطوانة صلبة:

أنا = ½ MR ² = ½ (2)(0,08) ² = 0,0064

صيغة حساب عزم القصور الذاتي للكرة الصلبة:

أنا = 2/5 MR ² = 1/5 (4)(0,05) ² = (0,8)(0,0025) = 0,002

مقارنة عزم القصور الذاتي للأسطوانة والكرة:

0,0064: 0,002

3,2: 1

٢. استُخدمت العلبة المعدنية التي وُضعت فيها البسكويت كلعبة. كتلة العلبة ٢٠٠ غرام ونصف قطرها ١٥ سم. دُحرجت العلبة على أرضية أفقية. إذا أُهمل غطاء العلبة وقاعدتها، فاحسب عزم القصور الذاتي للعلبة.

معروف:

العلبة تشبه أسطوانة مجوفة.

الكتلة (م) = 200 غرام = 0.2 كيلوغرام

نصف القطر (نق) = 15 سم = 0.15 م

مطلوب:

حل:

صيغة عزم القصور الذاتي لأسطوانة مجوفة حول محورها:

I = MR² ⁼ (0,2)(0,15) ^² = (0,2)(0,0225) = 0,0045 كجم/ ^م²

3. قرص حر الدوران حول محور رأسي قادر على الدوران بسرعة 80 دورة في الدقيقة. إذا تم تثبيت جسم صغير كتلته 4 × 10⁻² كجم على القرص على بُعد 5 سم من المحور، فإن سرعة الدوران تصبح 60 دورة في الدقيقة، فما هو عزم القصور الذاتي للقرص؟

معروف:

السرعة الزاوية الابتدائية (ω₀ ₎ = 80 نقطة / 60 ثانية = 4/3 نقطة/ثانية

عزم القصور الذاتي الابتدائي (I _o ) = I

السرعة الزاوية النهائية (ω _t ) = 60 put / 60 s = 1 put/s

عزم القصور الذاتي النهائي (I _t ) = I + mr ² = I + (0.04)(0.05) ² = I + (0.04)(0.0025) = I + 0.0425

المطلوب: عزم القصور الذاتي للقرص

حل:

قانون حفظ الزخم الزاوي

I ω _o = I ω _t

I (4/3) = I + (0,0425 (1))

4 I / 3 = I + 0,0425

4 I = 3 I + 0,1275

4 I – 3 I = 0,1275

I = 0,1275 كجم م ²