الزخم الزاوي

الزخم الزاوي

كمية الحركة الدورانية، المطابقة للكتلة (m) في الحركة الخطية، هي عزم القصور الذاتي (I). وكمية الحركة الدورانية، المطابقة للسرعة (v) في الحركة الخطية، هي السرعة الزاوية (ω). وبالتالي، يمتلك الجسم الدوار زخمًا زاويًا يمكن حسابه باستخدام المعادلة التالية:

L = I ω

L = الزخم الزاوي (كجم م ² /ث)، I = عزم القصور الذاتي (كجم م ² )، ω = السرعة الزاوية (راديان/ث)

أمثلة على مسائل الزخم الزاوي

مثال توضيحي 1.

يتحرك جسيم كتلته 0.5 غرام في مسار دائري بسرعة زاوية ثابتة مقدارها 2 راديان/ثانية. احسب الزخم الزاوي للجسيم إذا كان نصف قطر مساره 10 سم.

حل:

عزم القصور الذاتي للجسيم:

I = mr² ⁼ (0.5 × 10⁻³ ^{كجم )} (1 × ^10⁻¹ م) ^² = (0.5 × ^10⁻³ كجم)(1 × 10⁻² ^م² ) = 0.5 × ^10⁻⁵ كجم ^م²

السرعة الزاوية للجسيم:

ω = 2 راد / ث

الزخم الزاوي للجسيم:

L = (0.5 × 10⁻⁵ ^كجم م² ⁾ (2 راديان/ثانية) = 1 × ^10⁻⁵ كجم م² ^/ ثانية

قانون حفظ الزخم الزاوي

ينص قانون حفظ الزخم الزاوي على أنه إذا كانت محصلة عزم القوة المؤثرة على جسم صلب أثناء دورانه تساوي صفرًا، فإن الزخم الزاوي لهذا الجسم يظل ثابتًا. ويمكن اشتقاق قانون حفظ الزخم الزاوي رياضيًا بتعديل معادلة قانون نيوتن الثاني للزخم الزاوي. فيما يلي معادلة قانون نيوتن الثاني للزخم الزاوي:

إذا كانت محصلة عزم القوة تساوي صفرًا، فإن المعادلة أعلاه تتغير إلى:

I _t = عزم القصور الذاتي النهائي، I _o = عزم القصور الذاتي الأولي، ω _t = السرعة الزاوية النهائية، ω _o = السرعة الزاوية الأولية، L _t = الزخم الزاوي النهائي، L _o = الزخم الزاوي الأولي.

أمثلة على مسائل قانون حفظ الزخم الزاوي

مثال توضيحي 1.

يدور قرص أسطواني صلب متجانس حول محوره بسرعة 4 راديان/ثانية. كتلة القرص ونصف قطره 1 كجم و0.5 متر على التوالي. إذا وُضعت فوق القرص حلقة كتلتها 0.2 كجم ونصف قطرها 0.1 متر، وكان مركز الحلقة،

فوق مركز القرص مباشرة، ثم يدور القرص والحلقة معًا بالسرعة الزاوية لـ...

حل:

عزم القصور الذاتي للأسطوانة الصلبة: I = ½ mr² ⁼ ½ (1 كجم)(0.5 م) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 كجم ^م²

عزم القصور الذاتي للحلقة: I = mr² ⁼ (0.2 كجم)(0.1 م) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 كجم ^م²

الزخم الزاوي الابتدائي (L1 ₎ = الزخم الزاوي النهائي ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 كجم م ² )(4 راديان/ثانية) = (0.125 كجم م ² + 0.002 كجم م ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 راديان/ثانية

أسئلة وأجوبة مفاهيمية

1. ما هو الزخم الزاوي؟
   الجواب: الزخم الزاوي هو مقياس لمقدار دوران الجسم، مع الأخذ في الاعتبار كتلته وشكله. وهو المكافئ الدوراني للزخم الخطي.
2. كيف يتم تحديد الزخم الزاوي رياضياً؟
   الجواب: يُعرَّف الزخم الزاوي (L) على النحو التالي: $L=r\times p$، حيث $r$ يمثل متجه الموضع من محور الدوران إلى نقطة التطبيق، و $p$ هو الزخم الخطي.
3. هل الزخم الزاوي كمية قياسية أم كمية متجهة؟
   الجواب: الزخم الزاوي كمية متجهة.
4. ما هي وحدة الزخم الزاوي في النظام الدولي للوحدات (SI)؟
   الجواب: وحدة الزخم الزاوي في النظام الدولي للوحدات هي كيلوغرام متر مربع لكل ثانية (كجم·م²).²/س).
5. كيف يتم الحفاظ على الزخم الزاوي؟
   الجواب: في نظام مغلق بدون عزم دوران خارجي، يظل الزخم الزاوي الكلي ثابتًا.
6. ما هو مبدأ حفظ الزخم الزاوي؟
   الجواب: ينص المبدأ على أن الزخم الزاوي الكلي لنظام مغلق يظل ثابتًا ما لم يتعرض لعزم دوران خارجي.
7. كيف ترتبط سرعة دوران متزلج التزلج الفني بالزخم الزاوي؟
   الجواب: عندما يقوم متزلج على الجليد بتقريب ذراعيه وساقيه من جسمه أثناء الدوران، فإنه يقلل من عزم القصور الذاتي، مما يؤدي إلى زيادة سرعة دورانه. وهذا يوضح قانون حفظ الزخم الزاوي.
8. ما هي العلاقة بين عزم الدوران والزخم الزاوي؟
   الجواب: عزم الدوران ($\tau$يمثل معدل تغير الزخم الزاوي. رياضياً، τ=dلتر/ثانية​.
9. هل من الممكن أن يمتلك جسم ما زخمًا زاويًا دون سرعة زاوية؟
   الجواب: لا، إذا كان للجسم زخم زاوي، فإنه يمتلك سرعة زاوية. يعتمد مقدار واتجاه الزخم الزاوي على كل من عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية.
10. كيف يؤثر عزم القصور الذاتي على الزخم الزاوي؟
    الجواب: الزخم الزاوي (L) هو حاصل ضرب عزم القصور الذاتي (I) والسرعة الزاوية (ω). $L=I\omega$، إن زيادة عزم القصور الذاتي لسرعة زاوية معينة ستزيد من الزخم الزاوي.
11. ما الفرق بين الزخم الزاوي الدوراني والزخم الزاوي المداري في ميكانيكا الكم؟
    الجواب: الزخم الزاوي الدوراني خاصية جوهرية للجسيمات، مثل الإلكترونات، ولا ينشأ عن الحركة في الفضاء. أما الزخم الزاوي المداري، من ناحية أخرى، فينشأ عن حركة الجسيم حول نقطة مركزية.
12. ما هو الدور الذي يلعبه الزخم الزاوي في تكوين الأنظمة الكوكبية؟
    الجواب: عندما تنهار سحابة جزيئية لتشكيل النجوم والكواكب، فإن حفظ الزخم الزاوي يتسبب في تسطح المادة إلى قرص حول النجم الوليد، والذي يمكن أن تتشكل منه الكواكب.
13. كيف يحافظ الجيروسكوب على اتجاهه في الفضاء؟
    الجواب: يمتلك الجيروسكوب الدوار زخمًا زاويًا. عندما يحاول عزم دوران خارجي تغيير اتجاهه، فإن الجيروسكوب يترنح، أو يغير محور دورانه، في اتجاه عمودي على عزم الدوران المطبق بسبب قانون حفظ الزخم الزاوي.
14. ما الذي يسبب التبادر في البلبل الدوار؟
    الجواب: يحدث التبادر في البلبل الدوار نتيجة لعزم الدوران الناتج عن الجاذبية المؤثر على مركز كتلة البلبل، والذي يقع بعيدًا عن نقطة ارتكازه. ويؤدي هذا العزم إلى تغيير في اتجاه الزخم الزاوي للبلبل، مما يجعله يتبادر.
15. لماذا تتسطح النجوم عند قطبيها؟
    الجواب: أثناء دوران النجوم، تتعرض لقوة طرد مركزي تدفع المادة إلى الخارج. ويكون هذا التأثير أقوى عند خط الاستواء منه عند القطبين، مما يؤدي إلى شكل مفلطح أو مسطح.
16. كيف يرتبط الزخم الزاوي بقانون كبلر الثاني؟
    الجواب: ينص قانون كبلر الثاني على أن قطعة مستقيمة تصل بين كوكب والشمس تمسح مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية. وهذا نتيجة لقانون حفظ الزخم الزاوي.
17. لماذا تهبط القطة دائمًا على قدميها عندما تسقط؟
    الجواب: تستخدم القطط مبدأ حفظ الزخم الزاوي. فمن خلال لف أجسامها وتغيير عزم القصور الذاتي في الهواء، يمكنها إعادة توجيه نفسها للهبوط على أقدامها دون انتهاك قوانين الحفظ.
18. كيف يرتبط العزم المغناطيسي بالزخم الزاوي في الإلكترونات؟
    الجواب: ينشأ العزم المغناطيسي للإلكترون من دورانه المغزلي وعزمه الزاوي المداري. ويتناسب العزم المغناطيسي طرديًا مع العزم الزاوي للإلكترون.
19. ما هو الزخم الزاوي بدلالة الإحداثيات القطبية؟
    الجواب: في الإحداثيات القطبية، الزخم الزاوي $L$ بالنسبة لكتلة نقطية، يمكن التعبير عنها على النحو التالي: $L=mrv$، حيث $m$ هي الكتلة، $r$ هي المسافة الشعاعية، و $v$ هي السرعة المماسية.
20. ماذا يحدث للزخم الزاوي لنظام مغلق عندما يصطدم جسمان؟
    الجواب: في نظام مغلق حيث يصطدم جسمان، يكون الزخم الزاوي الكلي قبل التصادم مساوياً للزخم الزاوي الكلي بعد التصادم، بافتراض عدم وجود عزم دوران خارجي يؤثر على النظام.

المشاكل والحلول

1. المسألة: تتحرك كتلة نقطية m = 2 كجم بسرعة v = 3 م/ث في دائرة نصف قطرها r = 4 م. احسب زخمها الزاوي حول مركز الدائرة.

الحل: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 كجم.م² ^/ ث

2. المسألة: تدور كرة صلبة كتلتها 3 كجم ونصف قطرها 0.5 م حول قطرها بسرعة زاوية ω = 2 راديان/ثانية. ما هو زخمها الزاوي؟

الحل: بالنسبة للكرة الصلبة، I = 2/5 / ( mr² ⁾

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 كجم.م ² /ث

3. المسألة: تتحرك كتلة نقطية مقدارها 3 كجم بسرعة 4 م/ث في خط مستقيم. ما مقدار زخمها الزاوي حول نقطة تبعد 5 م عن خط حركتها؟

حل:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 كجم.م² ^/ ث

4. المسألة: يدور قرص كتلته 5 كجم ونصف قطره 3 م بسرعة زاوية قدرها 2 راديان/ثانية. احسب زخمه الزاوي.

الحل: بالنسبة للقرص، I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 كجم.م ² /ث

5. المسألة: يدور قضيب طوله 4 أمتار وكتلته 2 كيلوغرام حول أحد طرفيه بسرعة زاوية قدرها 3 راديان/ثانية. أوجد زخمه الزاوي.

الحل: ^{بالنسبة} لقضيب حول أحد طرفيه، I = 1/3 مليمتر مربع

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 كجم.م ² /ث

6. المسألة: ما هو التغير في الزخم الزاوي إذا ضاعف جسم دوار سرعته الزاوية؟

الحل: العلاقة بين الزخم الزاوي (L) والسرعة الزاوية (ω) هي $L=I\times \omega$ . إذا تضاعفت ω، فإن الزخم الزاوي سيتضاعف أيضًا.

7. المسألة: إذا تضاعف نصف قطر المسار الدائري لجسيم متحرك مع الحفاظ على السرعة ثابتة، فما هو العامل الذي يتغير به الزخم الزاوي؟

الحل: الزخم الزاوي، $L=m\times r\times v$ . إذا تضاعفت قيمة r، فإن L ستتضاعف أيضًا.

٨. المسألة: طفل كتلته ٣٠ كجم يقف على حافة دوامة دوارة ساكنة. نصف قطر الدوامة ٢ متر. إذا بدأ الطفل بالجري بسرعة ٢ متر/ثانية بالنسبة للأرض على طول الحافة، فما مقدار الزخم الزاوي للطفل بالنسبة لمركز الدوامة؟

الحل: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 كجم.م² ^/ ث

9. المسألة: تدور أسطوانة كتلتها 6 كجم ونصف قطرها 2 م حول محورها المركزي بسرعة زاوية قدرها 5 راديان/ثانية. احسب زخمها الزاوي.

الحل: بالنسبة للأسطوانة، I = 1/2 / ( mr² ⁾

$L=I\times \omega$ = 1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 كجم.م ² /ث

10. المسألة: ما هو الزخم الزاوي الجديد لجسم ما إذا تم تخفيض عزم قصوره الذاتي إلى النصف وتضاعفت سرعته الزاوية ثلاث مرات؟

الحل: إذا كان $L=I\times \omega$ ، إذا تم تقسيم $I$ إلى النصف و $\omega \; إلى\; ثلاثة\; أضعاف\; ،\; فإن$$L$ الجديد سيكون 1/2 × 3 = 1.5 ضعف القيمة الأصلية.

11. المسألة: تدور حلقة كتلتها 2 كجم ونصف قطرها 1 متر بسرعة زاوية قدرها 4 راديان/ثانية. احسب زخمها الزاوي.

الحل: بالنسبة للحلقة، I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 كجم.م ² /ث

12. المسألة: مروحة ذات شفرات طولها 0.5 متر وكتلتها الكلية 1 كيلوغرام. إذا كانت تدور بسرعة زاوية قدرها 10 راديان/ثانية، فاحسب زخمها الزاوي.

الحل: بافتراض أن شفرات المروحة تشبه قضبانًا تدور حول أحد طرفيها، فإن I = 1/3 مم l ²

$L=I\times \omega$ = 1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 كجم.م ² /ث

13. المسألة: احسب الزخم الزاوي للأرض حول محورها نتيجة دورانها. المعطيات: كتلة الأرض = 5.972 × ^10²⁴ كجم ، نصف القطر ^r$=6371كم\text{،}$ ω $=7.27\times 10⁻⁵راديان/\text{ثانية}$.

الحل: بافتراض أن الأرض كرة صلبة، فإن I = 2/5 / ( mr² ⁾

$L=أنا\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ كجم.م ² / ث

14. المسألة: يتحرك طفل نحو مركز منصة دوارة. هل يزداد الزخم الزاوي، أم ينقص، أم يبقى كما هو؟

الحل: الزخم الزاوي محفوظ. عندما يتحرك الطفل نحو المركز، يقل عزم القصور الذاتي. وللحفاظ على الزخم الزاوي، تزداد السرعة الزاوية. وبالتالي، يبقى الزخم الزاوي ثابتًا.

15. المسألة: إذا تضاعفت الطاقة الحركية لجسم دوار، فبأي عامل يتغير زخمه الزاوي؟

الحل: الطاقة الحركية K = ½ Iω² ، والزخم الزاوي $L=I\omega .$ إذا تضاعفت الطاقة الحركية مع ثبات $I\; ،$^فإن$\omega ²$ يتضاعف. وهذا يعني أن $\omega$ تزداد بمعامل ^√2 . وبالتالي ، يزداد $L$أيضًا بمعامل √2.

16. المسألة: عجلة دراجة نصف قطرها 0.3 متر وكتلة حافتها 1.5 كيلوغرام. إذا كانت تدور بسرعة زاوية قدرها 5 راديان/ثانية، فما مقدار زخمها الزاوي؟

الحل: بافتراض أن الحافة عبارة عن حلقة، فإن I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 كجم.م² ^/ ث

ل = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 كجم.م ² / ث

17. المسألة: تقوم متزلجة على الجليد بسحب ذراعيها إلى الداخل أثناء الدوران. ماذا يحدث لزخمها الزاوي؟

الحل: الزخم الزاوي للمتزلجة محفوظ. بسحب ذراعيها للداخل، تقلل من عزم قصورها الذاتي، وبالتالي تدور بشكل أسرع (زيادة السرعة الزاوية) للحفاظ على زخمها الزاوي.

18. المسألة: دولاب موازنة له عزم قصور ذاتي مقداره 0.2 $\text{كجم.م²}$ زاوية مقدارها 10 راديان/ثانية. أوجد زخمه الزاوي^.

حل:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 كجم.م² ^/ ث

L = 0.2 × 10 = 2 كجم.م² ^/ ث​

19. المسألة: يؤثر عزم دوران خارجي محصل يساوي صفرًا على نظام ما. ماذا يمكنك أن تقول عن زخمه الزاوي؟

الحل: إذا كان عزم الدوران الخارجي الصافي يساوي صفرًا، فإنه وفقًا لقانون حفظ الزخم الزاوي، يظل الزخم الزاوي الكلي للنظام ثابتًا.

20. المسألة: تتحرك كتلة نقطية m = 5 كجم بسرعة v = 3 م/ث عمودية على الخط الواصل بينها وبين النقطة P. إذا كانت المسافة من النقطة P هي 4 م، فأوجد الزخم الزاوي حول النقطة P.

حل:

$L=م\times ص\times الخامس$ =5×4×3=60 كجم.م ² /ث

ل = 5 × 4 × 3 = 60 كجم.م ² / ث