مادة الضرب التبادلي باستخدام مكونات متجه الوحدة
يمكننا حساب الضرب الاتجاهي مباشرةً إذا عرفنا مركبات المتجهات. الإجراء هو نفسه المستخدم في الضرب القياسي . أولًا، نضرب متجهات الوحدة i و j و k . حاصل الضرب الاتجاهي بين متجهات الوحدة المتشابهة يساوي صفرًا.
i × i = j × j = k × k = 0
بالرجوع إلى معادلة ضرب المتجهات المشتقة سابقًا (A x B = AB بدون θ) والخاصية المضادة للتبديل في ضرب المتجهات (A x B = - B x A)ثم نحصل على:
i × j = -j × i = k
j × k = -k × j = i
k × i = – i × k = j
الآن نعبر عن المتجهين A و B بدلالة مكوناتهما، ونحلل حاصل ضربهما ونستخدم حاصل ضرب متجهات الوحدة.
A x ب = (Axi + Ayj + Azk) × (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
كارينا i x i = j x j = k x k = 0 دان i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, لذا :
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
إذا كانت C = A × B فإن مكونات C هي كما يلي:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
