منتج نقطي

المتجهات ليست أعدادًا عادية، لذا لا يمكن تطبيق الضرب العادي عليها مباشرةً. يجب استخدام ضرب المتجهات. هناك نوعان من ضرب المتجهات: الضرب القياسي والضرب الاتجاهي. يُسمى الضرب القياسي أيضًا بالضرب العددي لأنه ينتج كمية قياسية. ويُسمى الضرب الاتجاهي أيضًا بضرب المتجهات لأنه ينتج كمية متجهة. على سبيل المثال، لدينا متجهان، وهما: A دان Bالضرب القياسي للمتجهات A دان B مع AB Kبما أن الساحة تستخدم تدوين النقطة، فإن عملية الضرب هذه تسمى منتج نقطي. ضرب المتجهات A دان B مع A × بلأنه يستخدم الترميز xثم يُطلق على هذا الضرب اسم الضرب التبادلي.

على سبيل المثال، بالنظر إلى المتجه A دان B كما هو موضح في الصورة أدناه. حاصل الضرب النقطي بين متجهين A دان B مكتوبة على النحو التالي AB (A تيتيك B).

لتعريف الضرب النقطي للمتجهات A دان B (أ)، متجه مصور A والمتجهات حافظة مسافةوالتي تشكل زاوية θ. بعد ذلك نرسم إسقاط المتجه B باتجاه المتجه Aهذا الإسقاط هو أحد مكونات المتجه B وهو موازٍ للمتجه Aوهو بنفس حجم B كوس θ.

وهكذا، نُعرّف AB كمتجه كبير A مضروبًا في مكونات المتجه B وهو ما يوازي Aرياضياً، يمكننا كتابتها على النحو التالي:

AB كوس θ هو عدد عادي (قياسي). لذلك، يُطلق على الضرب القياسي أيضًا اسم الضرب القياسي. ماذا لو كان الضرب القياسي بين متجهين... A دان B تحول إلى BA ؟ قبل أن نحدد BAأولاً، نرسم إسقاط المتجه A إلى المتجهات ب (انظر الصورة أدناه).

بناءً على هذه الصورة، يمكننا تحديد BA كمتجه كبير B مضروبًا في مكونات المتجه A وهو ما يوازي Bرياضياً، يمكننا كتابتها على النحو التالي:

نتيجة ضرب النقاط AB = AB كوس θ ونتيجة الضرب النقطي BA = BA كوس θ. لأن AB كوس θ = BA كوس θثم ينطبق ذلك AB = BA

بعض الأمور المتعلقة بعملية الضرب النقطي التي يجب عليك معرفتها:

1. يحقق الضرب النقطي قانون التبادل.

AB = BA

2. يحقق الضرب النقطي قانون التوزيع.

أ. (ب + ج) = أب + أ ج

3. إذا كان المتجهان A و B متعامدين، فإن حاصل الضرب القياسي AB يساوي صفرًا.

عندما يكون المتجه A دان B إذا كانا متعامدين، فإن الزاوية المتكونة تساوي 90 درجة.^o. جتا 90^o = 0. وبالتالي: AB = AB كوس حلمة الثدي = AB كوس 90^o = 0. من ناحية أخرى، BA = BA كوس حلمة الثدي = BA كوس 90^o = 0

4. إذا كان المتجهان A و B في نفس الاتجاه ، فإن AB = AB cos ^θ = AB

عندما يكون المتجه A دان B إذا كانا في نفس الاتجاه، فإن الزاوية المتكونة تساوي صفرًا.^oجتا θ = 1. وبالتالي، AB = AB كوس حلمة الثدي = AB كوس 0^o = AB. على العكس تماما BA = BA كوس حلمة الثدي = BA كوس 0^o = BA

(لا ينبغي الخلط بينه وبين AB دان BA. كبير AB = كبير BAعلى سبيل المثال، مقدار المتجه A = 2. مقدار المتجه B = 3. ثم AB = 2.3 = 6؛ وهذا هو نفسه BA = 3.2 = 6.

^{5. شرط آخر لمتجهين في نفس الاتجاه، إذا كان} A = B، ^فإننا نحصل على AA = A² أو BB = ^B²

6. إذا كان المتجهان A و B في اتجاهين متعاكسين (عندما يكون متجهان في اتجاهين متعاكسين، تكون الزاوية المتكونة 180 درجة) ، فإن نتيجة الضرب AB = AB cos 180 درجة = AB (-1) = -AB.

جتا 180 درجة = -1.

مثال على المشاكل:

^متجه A مقداره 4 وحدات، ومتجه B مقداره 3 وحدات. أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين إذا كانت الزوايا المتكونة منهما 60° و90° و180°^.

مناقشة

بما أن AB = BA ، فيمكننا اختيار استخدام أي منهما. على سبيل المثال، نستخدم AB

AB = AB cos θ

حجم A = 4 وحدات وحجم B = 3 وحدات.